Здравствуйте, Павлов Сергей!
Нетрудно догадаться, что данное квадратное уравнение при а=-1 превращается в линейное с корнем 1,5. Но нас интересуют только положительные значения а, и легко заключить, что при других значениях а (кроме а=-1) старший коэффициент квадратного трехчлена будет отличаться от нуля-и мы будем иметь дело с именно квадратным уравнением. Решая простое неравенство а+1>0, приходим к выводу, что при всех положительных значениях а, что мы будем рассматривать старший коэффициент будет положительным-ветви параболы будут направлены вверх. Далее мы должны выяснить, при каких значениях а уравнение вообще будет иметь корни, то есть при каких значениях а дискриминант будет неотрицательным:
В^2-4АС>=0
(-4а)^2-4*(а+1)*(а-5)>=0
16а^2-4а^2+16а+20>=0
12а^2+16а+20>=0
3а^2+4а+5>=0
Приравнивая к нулю квадратный трехчлен и решая полученное квадратное уравнение, мы выясняем, что при любом а исходный квадратный трехчлен имеет корни, а дискриминант у него всегда положителен. Теперь представим график квадратного трехчлена-параболу. Она имеет ось симметрии. Точки пересечения параболы с осью Ох находятся на одинаковых расстояниях по обе стороны от оси симметрии. Очевидно, если и абсциссы точек пересечения параболы с осью Ох (корни квадратного трехчлена) положительны, то и положительна и абсцисса самой оси симметрии, которая,
как известно равна:
х0=-В/(2А).
То есть, в нашем случае
х0>0
4а/(2*(а+1))>0
Так как мы рассматриваем только положительные значения а, то и числитель, и знаменатель данной дроби положительны и сама дробь при рассматриваемых значениях а положительна.

Вернемся к нашей "воображаемой" параболе. Если идти по параболе от положительных значений х до отрицательных, то после прохождения наименьшего из корней (который,разумеется, положительный), парабола направляется вверх и пересекает ось Оу. В точке пересечения параболы с осью Оу абсцисса равна 0, а ордината, ясно, положительная. Подставляем значение х=0 в уравнение исходного квадратного трехчлена получаем неравенство:
а-5>0
а>5
И действительно, можно проверить, что при а=6 оба корни квадратного трехчлена положительны.
Ответ: а=6
P.S. Извините, пожалуйста, за очень запутанные рассуждения. Нам учительница всё так понятно объяснила на одном уроке, и если хотите, напишите в личную, я могу предоставить вам теорию и общие формулы для общего случая.

Здравствуйте, Павлов Сергей!

Достаточно решить неравенство (a+1)*f(0)>0

(a+1)*(a-5)>0

(-∞;-1)u(5;+∞) наименьшее целое положительное, удовлетворяющее этому условию=6. при а=6 дискриминант>0-корни есть-все отлично.