Здравствуйте, Подгорный Павел Андреевич!

Предлагаю Вам ознакомиться с моим решением Ваших задач.

Решение.

I) Пусть вершины треугольника суть A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB), C(xC; yC; zC). Тогда:

а) периметр треугольника найдется как сумма длин векторов (сторон) ВА, BC, CA:
P = |ВА| + |BC| + |CA| = √[(xA – xB)^2 + (yA – yB)^2 + (zA – zB)^2] +
+ √[(xC – xB)^2 + (yC – yB)^2 + (zC – zB)^2] +
+ √[(xA – xC)^2 + (yA – yC)^2 + (zA – zC)^2];

б) угол ABC найдется как угол между векторами BA и BC:
вектор BA = (xA – xB; yA – yB; zA - zB),
вектор BC = (xC – xB; yC – yB; zC - zB),
скалярное произведение векторов BA и BC = (вектор BA) • (вектор BC) =
= (xA – xB) • (xC – xB) +
+ (yA – yB) • (yC – yB) + (zA – zB) • (zC – zB),
cos ABC = [(вектор BA) • (вектор BC)] / [|BA| • |BC|] (длины векторов BA и BC были определены в пункте а));

в) высоту AD можно рассматривать как вектор, проходящий через точку A перпендикулярно вектору BC. Следовательно, ее уравнение суть
(xC – xB) • (x – xA) + (yC – yB) • (y – yA) + (zC – zB) •(z – zA) = 0;

г) известно, что медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершин, из которых они проведены. Поэтому для нахождения координаты точки пересечения медиан достаточно найти координаты точки N, такой что |AN| : |NP| = 2:1, где P – середина отрезка BC. Имеем:
- координаты точки P: xP = (xB + xC)/2, yP = (yB + yC)/2, zP = (zB + zC)/2;
- координаты точки N (искомой точки пересечения медиан треугольника ABC):
xN = (xA + 2•xP)/3, yN = (yA + 2•yP)/3, zN = (zA + 2•zP)/3;

д) пусть в треугольнике ABC прямая AM является биссектрисой угла BAC, причем точка M лежит на стороне BC. Из свойства биссектрисы внутреннего угла треугольника следует, что |BM| : |MC| = |BA| : |CA|. Следовательно, точка M делит отрезок BC в отношении λ = |BM| : |MC| = |BA| : |CA|, и ее координаты
xM = (xB + λ•xC)/(1 + λ), yM = (yB + λ•yC)/(1 + λ), zM = (zB + λ•zC)/(1 + λ).
Зная координаты точек A и M, находим уравнение прямой AM:
(x – xA) / (xM – xA) = (y – yA) / (yM – yA) = (z – zA) / (zM – zA).

е) площадь треугольника ABC можно найти, например:
- как половину векторного произведения векторов BA и BC;
- по формуле Герона
S =√[p • (p – |BA|) • (p - |BC|) • (p - |CA|)], где p = P/2 – полупериметр треугольника.
Проще использовать формулу Герона, для чего все необходимые данные определены в пункте а).

II) Пусть кривая задана уравнением x + y^2 - 2y + 3=0. Приводим его к каноническому виду:
x + y^2 - 2y + 3=0,
x = -y^2 + 2y – 3,
x = -(y^2 - 2y + 3),
x = -(y^2 - 2y + 1 – 1 + 3),
x = -((y - 1)^2 + 2),
x = -(y - 1)^2 - 2,
x + 2 = -(y - 1)^2,
(y – 1)^2 = -(x – (-2)).

Получили уравнение параболы, ось симметрии которой (y = 1) параллельна оси абсцисс, а вершина находится в точке с координатами (-2; 1). Поскольку 2p = 1, p = = 1/2, то координаты фокуса y = 1, x = -2 – p/2 = -2 - 1/4 = -2,25, то есть F(-2,25; 1). Уравнение директрисы x = -2 + p/2 = -2 + 1/4 = -1,75.

Из уравнения прямой x + y +1=0 выражаем переменную x через переменную y:
x + y +1=0,
x = -1 – y
и подставляя в заданное уравнение кривой, находим координаты точек их пересечения:
x + y^2 - 2y + 3=0,
-1 – y + y^2 - 2y + 3=0,
y^2 – 3y + 2 = 0,
D = 9 - 4•1•2 = 1, y1 = (3 - √1)/2 = 1, y2 = (3 + √1)/2 = 2,
x1 = -1 – y1 = -1 – 1 = -2, x2 = -1 – y2 = -1 – 2 = -3,
то есть искомые точки имеют координаты (-2; 1) и (-3; 2).

По приведенным данным легко строится график.

С уважением.