Здравствуйте, SETXAOS!

Решение.

Находим частные производные функций U и V:
дU/дx = -z^2/((x^2)*(y^2)),
дU/дy = -2*(z^2)/(x*y^3),
дU/дz = 2*z/(x*y^2),
дV/дx = 6*(sqrt 2)*x,
дV/дy = -(sqrt 2)*y,
дV/дz = -6*(sqrt 2)*z.

Находим значения частных производных функций U и V в точке M:
(дU/дx) (M) = -(sqrt (2/3))^2/((1/3)^2)*(2^2)) = -(2/3)/(4/9) = -3/2,
(дU/дy) (M) = -2*(sqrt (2/3)^2)/((1/3)*2^3) = -(8/9)/(8/3) = -1/3,
(дU/дz) (M) = 2*sqrt (2/3)/((1/3)*2^2) = 2*sqrt (2/3)/(4/3) = sqrt (8/3)/sqrt (16/9) = sqrt (3/2),
(дV/дx) (M) = 6*(sqrt 2)*(1/3) = (sqrt 72)*sqrt (1/9) = sqrt 8 = 2*sqrt 2,
(дV/дy) (M) = -(sqrt 2)*2 = -2*sqrt 2,
(дV/дz) (M) = -6*(sqrt 2)*sqrt (2/3) = -(sqrt 72)*sqrt (2/3) = -sqrt 48 = -4*sqrt 3.

Находим векторы-градиенты функций U и V в точке M:
grad U (M) = (-3/2)*i + (-1/3)*j + sqrt (3/2)*k,
grad V (M) = 2*sqrt 2*i + (-2)*sqrt 2*j + (-4)*sqrt 3*k.

Находим скалярное произведение векторов grad U (M) и grad V (M):
(grad U (M), grad V (M)) = (-3/2)*2*sqrt 2 + (-1/3)*(-2)*sqrt 2 + sqrt (3/2)*(-4)*sqrt 3 =
= -3*sqrt 2 + (2/3)*sqrt 2 + (-4)*sqrt (9/2) = (-7/3)*sqrt 2 + (-sqrt (72)) =
= (-7/3)*sqrt 2 + (-6*sqrt 2) = (-19/3)*sqrt 2.

Находим длины векторов grad U (M) и grad V (M):
|grad U (M)| = sqrt ((-3/2)^2 + (-1/3)^2 + (sqrt (3/2))^2) = sqrt (9/4 + 1/9 + 3/2) =
= sqrt ((81 + 4 + 54)/36) = sqrt (139/36) = (1/6)*sqrt 139,
|grad V (M)| = sqrt ((2*sqrt 2)^2 + (-2*sqrt 2)^2 + (-4*sqrt 3)^2) = sqrt (8 + 8 + 48) = sqrt 64 = 8.

Находим косинус угла между векторами grad U (M) и grad V (M):
cos ф = (-19/3)*sqrt 2/(8*(1/6)*sqrt 139) = (-19/4)*sqrt (2/139) = -0,5698,
следовательно, ф = arccos (-0,5698) = 124 градуса 44 минуты.

Ответ: 124 градуса 44 минуты.

Примечания.
1. Через sqrt (a) обозначается корень квадратный числа a. Например, sqrt 2 = 2^(1/2) = корень 2.
2. Через i, j, k обозначены единичные векторы координатных осей x, y, z.

Проверьте, пожалуйста, сделанные выкладки. Немудрено ошибиться при выполнении столь утомительных вычислений. Последовательность же решения, полагаю, правильная.

С уважением.