Здравствуйте, SETXAOS!

Было интересно заняться Вашей задачей. Вот что получилось...

Решение.

Находим сначала соответствующий неопределенный интеграл:
Int (e^3)*ln x*dx = (e^3)*Int ln x*dx.

Находим полученный интеграл, полагая u = ln x, dv = dx. Тогда du = dx/x, v = x,
Int ln x*dx = x*ln x - Int dx = x*ln x - x + C = x*(ln x - 1) + C.

Следовательно, соответствующий неопределенный интеграл равен
(e^3)*(x*(ln x - 1) + C), а искомый определенный интеграл равен
I = (e^3)*x*(ln x - 1) |(0; e) = (e^3)*[0*(ln 0 - 1) - e*(ln e - 1)].

Известно, что ln 0 не существует. Поэтому рассматриваем запись ln 0 как предел функции f(x) = ln x при x, стремящемся к нулю. Находим предел выражения x*ln x при x, стремящемся к нулю. Обозначим предельный переход через L(0) (то есть "по техническим причинам" примем, что запись "L(0)" заменяет общепринятую запись "lim при x, стремящемся к нулю").

Имеем
L(0) x*ln x = [0*(-Inf)] = L(0) (ln x)/(1/x) = [-Inf*Inf] = (по правилу Лопиталя) L(0) (1/x)/(-1/x^2) = L(0) (-x) = 0.

Значит,
I = (e^3)*[0 - e*(1 - 1)] = 0 (!?).

Получили неожиданный результат, хотя в предыдущих вычислениях вроде бы не было сделано ошибки. При нахождении определенного интеграла следует соблюдать известную осторожность. Дело в том, что функция y = ln x на заданном промежутке интегрирования меняет знак, и ее график на промежутке (0; 1) находится под осью абсцисс, а на промежутке (1; e] - над ней. Поэтому криволинейная трапеция, площадь которой необходимо найти (если интерпретировать определенный интеграл как площадь), состоит из двух фигур, первая из которых имеет "отрицательную" площадь и ее основанием служит промежуток (0; 1), а вторая имеет "положительную" площадь, и ее основанием служит промежуток (1; e].

Учитывая, что сумма "отрицательной" и "положительной" площадей равна нулю (согласно полученному выше результату), по свойству аддитивности искомый интеграл равен удвоенной "положительной" площади, то есть
I = 2*(e^3)*x*(ln x - 1) |(1; e) = 2*(e^3)*[e*(ln e - 1) - 1*(ln 1 - 1)] = 2*(e^3)*[e*(1 - 1) - 1*(0 - 1)] = 2*(e^3)*(0 + 1) = 2*(e^3).

Можно найти сумму двух площадей, если поменять местами пределы интегрирования в интеграле, равном "отрицательной" площади. Тогда
I = (e^3)*x*(ln x - 1) |(1; 0) + (e^3)*x*(ln x - 1) |(1; e) =
= (e^3)*[0 - 1*(ln 1 - 1)] + (e^3)*[e*(ln e - 1) - 1*(ln 1 - 1)] = (e^3) + (e^3) =
= 2*(e^3) (снова получили тот же результат).

Ответ: 2*(e^3).

С уважением.