24.02.2018, 20:25 [+3 UTC]
в нашей команде: 2 565 чел. | участники онлайн: 5 (рекорд: 21)

:: РЕГИСТРАЦИЯ

:: задать вопрос

:: все разделы

:: правила

:: новости

:: участники

:: доска почёта

:: форум

:: блоги

:: поиск

:: статистика

:: наш журнал

:: наши встречи

:: наша галерея

:: отзывы о нас

:: поддержка

:: руководство

Версия системы:
7.44 (14.02.2018)

Общие новости:
02.01.2018, 09:46

Форум:
11.02.2018, 23:11

Последний вопрос:
24.02.2018, 17:00

Последний ответ:
23.02.2018, 22:11

Последняя рассылка:
24.02.2018, 19:15

Писем в очереди:
0

Мы в соцсетях:

Наша кнопка:

RFpro.ru - здесь вам помогут!

Отзывы о нас:
15.01.2012, 22:08 »
lamed
Большое спасибо! Как всегда, оперативно и понятно. [вопрос № 185183, ответ № 269593]
28.05.2013, 10:15 »
Александр Сергеевич
Спасибо!!! [вопрос № 187377, ответ № 272314]
10.03.2010, 15:18 »
Alex1962
Спасибо! Конкретный ответ без заморочек. [вопрос № 177138, ответ № 259999]

РАЗДЕЛ • Математика

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

[администратор рассылки: Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)]

Лучшие эксперты в этом разделе

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Модератор
Рейтинг: 5458
Михаил Александров
Статус: Специалист
Рейтинг: 1063
epimkin
Статус: Практикант
Рейтинг: 671

Перейти к консультации №:
 

Консультация онлайн # 139338
Раздел: • Математика
Автор вопроса: SETXAOS
Отправлена: 06.06.2008, 16:35
Поступило ответов: 1

Здравствуйте эксперты: Вычислить определенный интеграл.
(от 0 до e) ∫e^3*lnx*dx

Состояние: Консультация закрыта

Здравствуйте, SETXAOS!

Было интересно заняться Вашей задачей. Вот что получилось...

Решение.

Находим сначала соответствующий неопределенный интеграл:
Int (e^3)*ln x*dx = (e^3)*Int ln x*dx.

Находим полученный интеграл, полагая u = ln x, dv = dx. Тогда du = dx/x, v = x,
Int ln x*dx = x*ln x - Int dx = x*ln x - x + C = x*(ln x - 1) + C.

Следовательно, соответствующий неопределенный интеграл равен
(e^3)*(x*(ln x - 1) + C), а искомый определенный интеграл равен
I = (e^3)*x*(ln x - 1) |(0; e) = (e^3)*[0*(ln 0 - 1) - e*(ln e - 1)].

Известно, что ln 0 не существует. Поэтому рассматриваем запись ln 0 как предел функции f(x) = ln x при x, стремящемся к нулю. Находим предел выражения x*ln x при x, стремящемся к нулю. Обозначим предельный переход через L(0) (то есть "по техническим причинам" примем, что запись "L(0)" заменяет общепринятую запись "lim при x, стремящемся к нулю").

Имеем
L(0) x*ln x = [0*(-Inf)] = L(0) (ln x)/(1/x) = [-Inf*Inf] = (по правилу Лопиталя) L(0) (1/x)/(-1/x^2) = L(0) (-x) = 0.

Значит,
I = (e^3)*[0 - e*(1 - 1)] = 0 (!?).

Получили неожиданный результат, хотя в предыдущих вычислениях вроде бы не было сделано ошибки. При нахождении определенного интеграла следует соблюдать известную осторожность. Дело в том, что функция y = ln x на заданном промежутке интегрирования меняет знак, и ее график на промежутке (0; 1) находится под осью абсцисс, а на промежутке (1; e] - над ней. Поэтому криволинейная трапеция, площадь которой необходимо найти (если интерпретировать определенный интеграл как площадь), состоит из двух фигур, первая из которых имеет "отрицательную" площадь и ее основанием служит промежуток (0; 1), а вторая имеет "положительную" площадь, и ее основанием служит промежуток (1; e].

Учитывая, что сумма "отрицательной" и "положительной" площадей равна нулю (согласно полученному выше результату), по свойству аддитивности искомый интеграл равен удвоенной "положительной" площади, то есть
I = 2*(e^3)*x*(ln x - 1) |(1; e) = 2*(e^3)*[e*(ln e - 1) - 1*(ln 1 - 1)] = 2*(e^3)*[e*(1 - 1) - 1*(0 - 1)] = 2*(e^3)*(0 + 1) = 2*(e^3).

Можно найти сумму двух площадей, если поменять местами пределы интегрирования в интеграле, равном "отрицательной" площади. Тогда
I = (e^3)*x*(ln x - 1) |(1; 0) + (e^3)*x*(ln x - 1) |(1; e) =
= (e^3)*[0 - 1*(ln 1 - 1)] + (e^3)*[e*(ln e - 1) - 1*(ln 1 - 1)] = (e^3) + (e^3) =
= 2*(e^3) (снова получили тот же результат).

Ответ: 2*(e^3).

С уважением.


Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор)
Дата отправки: 07.06.2008, 23:32

Рейтинг ответа:

0

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Яндекс Rambler's Top100

главная страница | поддержка | задать вопрос

Время генерирования страницы: 0.13027 сек.

© 2001-2018, Портал RFPRO.RU, Россия
Калашников О.А.  |  Гладенюк А.Г.
Версия системы: 7.44 от 14.02.2018