Здравствуйте, Уманский Денис!
Z=z(x, y) является функцией двух переменных: x и y. Необходимыми условиями экстремума функции z в некоторой точке является равенство нулю частных производных этой функции в данной точке.
Имеем:
дz/дx=3x^2-6y, дz/дy=24y^2-6x.
Приравнивая обе производные нулю, получаем систему двух уравнений:
3x^2-6y=0,
24y^2-6x=0.
Решая эту систему, находим стационарные точки: x1=0, y1=0; x2=1, y2=1/2, то есть (0; 0) и (1; 1/2).
Поскольку равенство нулю частных производных в стационарных точках является необходимым, но не достаточным условием, находим вторые частные производные:
A=д^2 z/дx^2=6x, B=д^2 z/(дxдy)=-6, С=д^2 z/дy^2=48y.
Находим значения частных производных и определителя AC-B^2 в стационарных точках:
- в точке (0; 0) A=0, B=-6, C=0, AC-B^2=-36<0;
- в точке (1; 1/2) A=6, B=-6, C=24, AC-B^2=6*24-(-6)^2=144-36=108>0.
Поскольку в точке (0; 0) AC-B^2<0, то в этой точке экстремума нет.
Поскольку в точке (1; 1/2) AC-B^2>0, и A>0 (C>0), то функция имеет минимум в этой точке; z min=z(1; 1/2)=1^3+8*(1/2)^3-6*1*(1/2)+1=1+1-3+1=0.
С уважением.