Здравствуйте, Уманский Денис!

Решение Вашей задачи следующее.

Уравнение касательной – это уравнение прямой, проходящей через точку касания. Уравнение любой прямой, проходящей через точку (x0, y0), имеет вид y-y0 = k(x-x0).

Геометрический смысл производной y’(x) состоит в том, что ее значение в точке (x0, y0) равно угловому коэффициенту k касательной к графику функции y(x) в этой точке, то есть y’(x0) = k.

Следовательно, искомое уравнение касательной имеет вид y-y0 = y’(x0)*(x-x0) (1).

В Вашем случае
- ордината точки касания y0 = y(x0) = x0/(x0^2+1) = -2/((-2)^2+1) = -2/5;
- производная y’(x) = (x/(x^2+1))’ = (x*(x^2+1)^(-1))’ = x’*(x^2+1) + x*((x^2+1)^(-1))’ = (x^2+1)^(-1) + x*(-1)*((x^2+1)^(-2))*2x = 1/(x^2+1) - (2x^2)/((x^2+1)^2);
- значение производной в точке касания y’(x0) =
= y’(-2) = 1/((-2)^2+1) - (2*(-2)^2)/(((-2)^2+1)^2) =
= 1/5 – 8/25 = 5/25 – 8/25 = -3/25.

Подставляя найденные значения y0 и y’(x0) в формулу (1), получаем:
y – (-2/5) = (-3/25)*(x-(-2)),
y + 2/5 = (-3/25)x – 6/25,
y = (-3/25)x – 16/25.

Ответ: y = (-3/25)x – 16/25.