Здравствуйте, Eniseia!
Обруч надо рассматривать как физический маятник - твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или оси, не проходящей через центр масс этого тела (материал из Википедии - свободной энциклопедии). Циклическая частота ω колебаний физического маятника в поле земного тяготения напряжённостью g равна: ω = √(g/l) (1), где l - приведённая длина: l = J/(m*a) (2), где J - момент инерции относительно точки подвеса, m - масса, a - расстояние от точки подвеса до центра масс. В нашем случае центр масс обруча находится в его геометрическом центре; считая, по умолчанию, что влиянием толщины обруча можно пренебречь, принимаем a = R. Момент инерции обруча ("тонкостенного кольца/цилиндра") относительно его центра масс ("центральный") J_ц равен (см. там же "<i>Моменты инерции</i> однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей"): J_ц = М*R² (3). Полный момент инерции обруча J_п относительно точки на его ободе, находящейся на расстоянии R от центра масс, определяется по теореме Штейнера: J_п = J_ц + М*R² (4), или, совместно с (3): J_п = 2*М*R² (5). Подставив (5) в (2), после сокращений получаем: l = 2*R, а из (1): ω = √(g/(2*R)) (6). В условии не оговорено чётко, какая именно величина считается отклонением обруча; принимаем что это смещение X его нижней точки от положения равновесия. Уравнение колебаний обруча: X = А*COS(ω*t) = А*COS(√(g/(2*R))*t) (7). Скорость нижней точки V равна: V = dX/dt = -А*√(g/(2*R))*SIN(√(g/(2*R))*t) (8). Кинетическая энергия K обруча равна: K = J_п*ω_обр²/2 (9), где ω_обр = V/(2*R) - угловая скорость обруча; перепишем (9) с учётом (5): K = (2*М*R²*V²/((2*R)²))/2 = М*V²/4 (10). Из (8) видно, что модуль V достигает максимального значения V_макс, когда SIN(√(g/(2*R))*t) = 1, значит V_макс = А*√(g/(2*R)), а V_макс² = А²*g/(2*R) (11). Подставив (11) в (10), получаем максимальное значение кинетической энергии: K_макс = М*А²*g/(8*R) (12).