Здравствуйте, meg17!

Решение задачи в приложении.


Приложение:
Предположим, прямаяa*x + b*x + c =0 (1)переходит в результате афинного преобразованияx‘ = 5x - 2y + 6 (2)y‘ = 8x - 3y + 12в прямуюa‘*x‘ + b‘*y‘ + c‘ = 0. (3)Подставим x‘, y‘ в уравнение (3), получим уравнение исходной прямой:a‘*(5x - 2y + 6) + b‘*(8x - 3y + 12) + c‘ = 0,или (5a‘ + 8b‘)*x + (-2a‘ - 3b‘)*y+ 6a‘ + 12b‘ + c‘ = 0.Сравнивая с (1), находим:a = 5a‘ + 8b‘,b = -2a‘ - 3b‘,c = 6a‘ + 12b‘ + c‘.Заметим, что прямая, которую описывает уравнение (1),не изменится, если уравнение умножить на коэффициентk != 0. Поэтому для того, чтобы прямая (1) не менялась при преобразовании, достаточно потребовать, чтобы:a = k*a‘, b = k*b‘, c = k*c‘ (k != 0).Это дает следующие уравнения:5a‘ + 8b‘ = k*a‘-2a‘ - 3b‘ = k*b‘6a‘ + 12b‘ + c‘ = k*c‘,или (штрихи опускаем):(5 - k)*a + 8b = 0 (4)-2a + (-3 - k)*b = 06a + 12b + (1-k)*c = 0Мы получили однородную систему уравнений, которая имеет решения толькопри условии равенства нулю ее определителя:| 5-k 8 0 || -2 -3-k 0 | = 0.| 6 12 1-k |Это уравнение определяет возможные значения k.Разлагая определитель по правому крайнему столбцу, получим:(1-k)*((5-k)*(-3-k)+16) = 0,или(1-k)*(k^2 - 2k + 1 ) = 0.Уравнение имеет единственный корень k = 1 (кратности 3).Подставим k=1 в (4). Получим:4a + 8b = 0-2a - 4b = 06a + 12b = 0.Ясно, что имеется единственное условиеa = -2b, причем b и c - любые (b != 0).Заметим, что можно положить b = -1 без потери решений.Таким образом, любая прямая вида2x - y + c = 0 (5)не изменится при данном в задаче преобразовании.Проверим результат. Подставим в (5) x‘, y‘ из (2) вместо x, y:2*(5x - 2y + 6) - (8x - 3y + 12) + c = 0,или10x - 4y + 12 - 8x + 3y - 12 + c = 0,2x - y + c = 0.То есть, уравнение не изменилось.