Здравствуйте, Ansea!

Элементарные симметричные многочлены имеют следующий вид:

f1 = x1+x2+..+xn,
f2 = x1*x2 + x1*x3 + ..+ x2*x3 + .. + xn-1*xn,
f3 = x1*x2*x3 + x1*x2*x4 + .. x1*x3*x4 + .. + x2*x3*x4 + .. xn-2*xn-1*xn,
...
fn = x1*x2*..*xn.

Известно, что любой симметрический многочлен может быть представлен единственным способом как многочлен от элементарных симметрических многочленов. Для суммы кубов это представление имеет вид:

(1) x1^3+x2^3+..+xn^3 = f1^3 - 3*f1*f2 + 3*f3.

По теореме Виета многочлен степени n c единичным коэфф. при X^n, имеющий корни x1, .. xn, можно записать в виде:

(2) x^n - f1*x^(n-1) + f2*x^(n-2) + .. + (-1)^n*fn.

Корни степени n из 1 - это корни многочлена x^n - 1.
Сравнивая (2) и x^n - 1, находим с учетом (1):

При n = 2: f1 = 0, f2 = -1, и можно положить f3 = 0 - сумма кубов корней из 1 равна 0;
При n = 3: f1 = f2 = 0, f3 = 1 - сумма кубов корней из 1 равна 3;
При n >= 4: f1 = f2 = f3 = 0 - сумма кубов корней из 1 равна 0.