Здравствуйте, Мария Валерьевна!

Пусть О - центр большой окружности, O1 - центр малой, A - выбранная точка на окружности.
Проведем радиус ОВ большой окружности так, чтобы, когда точка А совпадает с точкой О, угол ВОО1 = phi был равен нулю.
Рассмотрим угол ОО1А, равный нулю при phi = 0. Легко заметить, что при качении
малой окружности по внутренней дуге большой окружности угол OO1A = 2*phi.
Например, когда малая окружность проходит _четверть_ дуги большой,
точки _половины_ дуги малой окружности последовательно касаются большой окружности, после чего phi = Pi/2, а ОО1А = Pi.
Так как треугольник ОО1А равнобедренный, то
угол O1OA = угол ОАО1 = (Pi - 2*phi)/2 = Pi/2 - phi. Отсюда следует, что
угол ВОА (равный сумме O1OA и BOO1) всегда равен Pi/2. То есть, точка А лежит на
диаметре, перпендикулярном ОВ.

Здравствуйте, Мария Валерьевна!

Чтобы доказать решение, необходимо знать следующее:
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.
Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а обе стороны пересекают эту окружность.
Вписанный угол в 2 раза меньше центрального, при условии, что они опираются на одну дугу.

А теперь доказательство:

Пусть центр большой окружности - точка О, ее радиус 2R.
Пусть центр малой окружности - точка О1, ее радиус R.
На первоначальном чертеже отметим точку А1, совпадающую с А.

Построим второй чертеж, когда малая окружность переместилась на произвольное значение, и точка касания стала В. Заметим, что точка О всегда лежит на малой окружности, а радиус большой окружности ОВ - это диаметр малой, т.е. точка О1 лежит на радиусе ОВ. Точка А1 теперь не совпадает с А. Докажем, что точка А1 лежит на радиусе большой окружности ОА. Длина дуги АВ большой окружности равна произведению угла АОВ на радиус большой окружности R. Длина дуги А1В малой окружности равна произведению угла А1О1В на радиус малой окружности R. Обе длины равны, так как окружность движется без проскальзывания. Следовательно, угол АОВ в 2 раза меньше угла А1О1В, так как в 2 раза отличаются радиусы окружностей. Но угол АОВ - вписанный для малой окружности, а угол А1О1В - центральный для малой окружности. Значит, они должны опираться на одну и ту же дугу. Такое справедливо лишь тогда, когда точка А1 лежит на стороне угла ОА, т.е. на радиусе большой окружности.