15.12.2017, 15:16 [+3 UTC]
в нашей команде: 2 381 чел. | участники онлайн: 11 (рекорд: 21)

:: РЕГИСТРАЦИЯ

:: консультации

:: задать вопрос

:: все разделы

:: правила

:: новости

:: участники

:: доска почёта

:: форум

:: блоги

:: поиск

:: статистика

:: наш журнал

:: наши встречи

:: наша галерея

:: отзывы о нас

:: поддержка

:: руководство

Версия системы:
7.41 (25.02.2017)

Общие новости:
23.02.2017, 09:51

Форум:
15.12.2017, 13:41

Последний вопрос:
15.12.2017, 14:39

Последний ответ:
15.12.2017, 06:51

Последняя рассылка:
15.12.2017, 14:15

Писем в очереди:
0

Мы в соцсетях:

Наша кнопка:

RFpro.ru - здесь вам помогут!

Отзывы о нас:
27.04.2011, 17:21 »
novij2011
Спасибо за быстрый ответ! ВЫ очень мне помогли. [вопрос № 182956, ответ № 266869]
26.01.2017, 14:49 »
svrvsvrv
Огромное спасибо. Ваше объяснение очень простое, логичное и доступное. [вопрос № 190484, ответ № 274590]
04.03.2011, 14:58 »
Мироненко Николай Николаевич
Спасибо Вам большое за помощь! Работает! :=) [вопрос № 182371, ответ № 266079]

РАЗДЕЛ • Математика

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

[администратор рассылки: Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)]

Лучшие эксперты в этом разделе

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Модератор
Рейтинг: 5806
Михаил Александров
Статус: Бакалавр
Рейтинг: 1891
epimkin
Статус: Студент
Рейтинг: 650

Перейти к консультации №:
 

Консультация онлайн # 136492
Раздел: • Математика
Автор вопроса: Мария Валерьевна
Отправлена: 12.05.2008, 16:24
Поступило ответов: 2

Добрый день, уважаемые эксперты!

Вообще-то со школьной программой алгебры и геометрии у меня было все в порядке. Но однажды, в 9 классе, когда я участвовала в математической олимпиаде, мне попалась задачка, которая не дает мне покоя до сих пор. Поэтому хочу обратиться к силам этого замечательного сайта. Пожалуйста, помогите :)
Итак, задача по памяти (если что-то надо уточнить - обращайтесь):
Даны две окружности радиусом R и 2R. Одна вписана в другую и соприкасается в точке А. Нужно доказать, что при движении малой окружности по внутренней дуге большой окружности, точка А, находящаяся на малой окружности пройдет траекторию, совпадающую с диаметром большой окружности.

Заранее Вам благодарна.

Состояние: Консультация закрыта

Здравствуйте, Мария Валерьевна!

Пусть О - центр большой окружности, O1 - центр малой, A - выбранная точка на окружности.
Проведем радиус ОВ большой окружности так, чтобы, когда точка А совпадает с точкой О, угол ВОО1 = phi был равен нулю.
Рассмотрим угол ОО1А, равный нулю при phi = 0. Легко заметить, что при качении
малой окружности по внутренней дуге большой окружности угол OO1A = 2*phi.
Например, когда малая окружность проходит _четверть_ дуги большой,
точки _половины_ дуги малой окружности последовательно касаются большой окружности, после чего phi = Pi/2, а ОО1А = Pi.
Так как треугольник ОО1А равнобедренный, то
угол O1OA = угол ОАО1 = (Pi - 2*phi)/2 = Pi/2 - phi. Отсюда следует, что
угол ВОА (равный сумме O1OA и BOO1) всегда равен Pi/2. То есть, точка А лежит на
диаметре, перпендикулярном ОВ.


Консультировал: Лангваген Сергей Евгеньевич (Академик)
Дата отправки: 12.05.2008, 18:41

Рейтинг ответа:

0

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Ответ # 223263 от Sosedov A.I.

Здравствуйте, Мария Валерьевна!

Чтобы доказать решение, необходимо знать следующее:
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.
Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а обе стороны пересекают эту окружность.
Вписанный угол в 2 раза меньше центрального, при условии, что они опираются на одну дугу.

А теперь доказательство:

Пусть центр большой окружности - точка О, ее радиус 2R.
Пусть центр малой окружности - точка О1, ее радиус R.
На первоначальном чертеже отметим точку А1, совпадающую с А.

Построим второй чертеж, когда малая окружность переместилась на произвольное значение, и точка касания стала В. Заметим, что точка О всегда лежит на малой окружности, а радиус большой окружности ОВ - это диаметр малой, т.е. точка О1 лежит на радиусе ОВ. Точка А1 теперь не совпадает с А. Докажем, что точка А1 лежит на радиусе большой окружности ОА. Длина дуги АВ большой окружности равна произведению угла АОВ на радиус большой окружности R. Длина дуги А1В малой окружности равна произведению угла А1О1В на радиус малой окружности R. Обе длины равны, так как окружность движется без проскальзывания. Следовательно, угол АОВ в 2 раза меньше угла А1О1В, так как в 2 раза отличаются радиусы окружностей. Но угол АОВ - вписанный для малой окружности, а угол А1О1В - центральный для малой окружности. Значит, они должны опираться на одну и ту же дугу. Такое справедливо лишь тогда, когда точка А1 лежит на стороне угла ОА, т.е. на радиусе большой окружности.


Консультировал: Sosedov A.I.
Дата отправки: 13.05.2008, 09:02

Рейтинг ответа:

0

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Яндекс Rambler's Top100

главная страница | поддержка | задать вопрос

Время генерирования страницы: 0.18764 сек.

© 2001-2017, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
Калашников О.А.  |  Гладенюк А.Г.
Версия системы: 7.41 от 25.02.2017
Бесплатные консультации онлайн