Здравствуйте, Водянникова Екатерина Валерьевна!
Обычно консервная банка имеет форму цилиндра.
Минимальное количество жести будет расходовано на изготовление банки, если будет минимальной площадь ее полной поверзности. Обозначим эту площадь через S. Она равна площади боковой поверхности цилиндра, сложенной с удвоенной площадью основания цилиндра. Если обозначить через R радиус искомого цилиндра, через h - его высоту, то будем иметь: S=2*пи*R^2+2*пи*R*h. А объем цилиндра V=пи*R^2*h, откуда следует, что h=V/(пи*R^2).
Подставим выражение для h в выражение для S и получим S=S(V, R) - функцию заданного объема V и независимой переменной R: S=2*пи*R^2+2*V/R.
Найдем теперь производную функции S по переменной R и, приравняв эту производную нулю, точку экстремума функции S: S'=2*пи*R-2*V/R^2=0, 2*пи*R^3-2*V=0, пи*R^3-V=0, R=(V/пи)^(1/3), то есть R равно корню кубическому из (V/пи). В этом случае h=V/(пи*((V/пи)^(1/3))^2=(V*(пи)^(2/3))/(пи*(V^(2/3))=(V/пи)^(1/3), то есть h равно корню кубическому из отношения V/пи, или равно R.
Для того, чтобы убелиться в том, что при полученном значении R функция S действительно имеет минимум, необходимо найти вторую производную функции S по переменной R и, подставив в полученное выражение значение R, убедиться в том, что оно отрицательно. Предоставляю это Вам.
Ответ: R=h=(V/пи)^(1/3).
P. S. Рисунок здесь, по-моему, не нужен.
Консультация онлайн # 136456
Раздел: • Математика
