Здравствуйте, Dayana!

Это где ж вы такой нашли?Проверьте условие, что-то у меня вызывает сомнение такой ответ, который получился.
Все интегралы, представляющие собой дробно-рациональную функцию от синуса и косинуса [R(sinx,cosx)] берутся подстановкой
t=tg(x/2); sin x = 2t/(1+t²); cos x = (1-t²)/(1+t²); x=2arctg t; dx = 2dt/(1+t²),
которая сводит интеграл к дробно-рациональной функции; её раскладывают на сумму простейших дробей, которые легко интегрируются. Это теория.
На практике всё не так красиво {проверьте арифметику}:
∫(4sinx +10 + 10cosx)dx / (cos²x +2cosx +2sinxcosx + sinx +1)=
(домножая на 1+t² числитель и знаменатель)
=∫(8t+10+10t²+10-10t²)2dt/(1+t²){(1-2t²+t^4)/(1+t²)+2-2t²+(4t-4t³)/(1+t²)2t+1+t²}
=∫(8t+20)2dt/(1-2t²+t^4+2+2t²-2t²-2t^4+4t-4t³+2t+2t³+1+t²+t²+t^4)=
=∫(16t+40)dt/(-2t³+6t+4)=-4∫(2t+5)dt/(t³-3t-2)=
=-4∫(-t²+t+2-t+2+t²+2t+1)dt/(t+1)²(t-2)=-4(∫(-dt)/(t+1) + ∫(-dt)/(t+1)² + ∫dt/(t-2)) =
=-4(-ln|t+1|+1/(t+1)+ln|t-2|) = -4(ln|(t-2)/(t+1)| + 1/(t+1))+C =
= -4(ln|(tg(x/2)-2)/(tg(x/2)+1)|+1/(tg(x/2)+1)) +C.

Удачи!