Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 57593
03.10.2006, 17:52
0.00 руб.
0 5 1
Образование
Доброго времени суток! Помогите пожалста решить задачу.

Найти геометрическое место середин отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых

Сам в стереометрии не силен. Спасибо.

Обсуждение

Неизвестный
03.10.2006, 17:58
общий
Решение - вся плоскость C, проходящая через середину общего перпендикуляра к скрещивающимся прямым. Доказывать можно начинать с того, что спроектировать на C обе прямые. Тогда останется доказать, что для перекрещивающихся прямых геометрическим местом середин отрезков ... является вся плоскость. А уж это Вы сможете.
Неизвестный
03.10.2006, 23:11
общий
Слушайте, обьясните пожалста, как это может быть плоскость? Ниче не представляю себе
Неизвестный
04.10.2006, 10:11
общий
Для наглядности: если взять стержень в 3-мерном пространстве и через один его конец провести прямую 1, перпендикулярную стержню, а через другой конец провести другую прямую 2, тоже перпендикулярную стержню, но не параллельно первой 1 - получим скрещивающиеся прямые и общий перпендикуляр к ним. Если через середину стержня провести плоскость П перпендикулярно стержню, то она окажется параллельна каждой из прямых. Больше того, расстояние от каждой точки каждой прямой до этой плоскости будет равно половине длины стержня (легко доказать, проведя плоскость через стержень и прямую 1 - стержень будет перпендикулярен и прямой-пересечению двух плоскостей, и прямой 1. Для прямой 2 аналогично). Наглядно видно, что любой отрезок, соединяющий прямые, будет делиться этой плоскостью пополам. Если провести через один из концов такого отрезка прямую, параллельную стержню, и через эту прямую и сам отрезок провести плоскость, то из полученных прямоугольных треугольников это можно и доказать (например, найти треугольники подобные с соотношением 1:2).А вот чтобы доказать, что любая точка А плоскости П будет серединой какого-то отрезка, один конец которого на прямой 1, а другой конец на прямой 2, и нужно будет что-то построить. Например, можно построить для прямой 1 симметричную относительно точки А прямую 1а, доказать, что она тоже параллельна плоскости П и находится на том же расстоянии относительно нее, поэтому находится в плоскости П2, параллельной плоскости П и проходящей через другой конец стержня, поэтому П2 содержит прямую 2, а раз прямые 1 и 2 не параллельны, а прямые 1 и 1а параллельны, то 1а и 2 пересекаются в точке В - это и будет одним концом искомого отрезка, а симметричная относительно А точка С будет другим концом отрезка. Раз В лежит на прямой 1а, то С лежит на 1. То, что А будет серединой отрезка ВС, доказали выше.Как доказывают существование общего перпендикуляра к скрещивающимся прямым (или это и есть определение скрещивающихся прямых?) - забыл, школу закончил давно...
Неизвестный
05.10.2006, 01:53
общий
?
давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18346
05.10.2006, 08:37
общий
это ответ
Здравствуйте, Сергей Сергеевич Сергеев!

Смотрите решение задачи в приложении. Оно общеизвестно.

С уважением,
Mr. Andy.


Приложение:
Пусть точки M и N принадлежат скрещивающимся прямым a и b соответственно, K - середина отрезка MN. Через точку K проведем прямые a и b, соответственно параллельные прямым a и b. Через пересекающиеся прямые a и b проведем плоскость . Докажем, что эта плоскость и есть искомое геометрическое место точек. Пусть X и Y - произвольные точки прямых a и b соответственно. Поскольку прямые a и a параллельны, они лежат в одной плоскости. В этой же плоскости лежит прямая MN (т.к. две ее точки M и K лежат в этой плоскости), а, значит, - и прямая NX. Пусть прямые a и NX пересекаются в точке P. Тогда P - середина отрезка NX. Если Z - точка пересечения отрезка XY с плоскостью , то плоскость треугольника NXY, проходящая через прямую b, параллельную плоскости , пересекает эту плоскость по прямой PZ, параллельной прямой b. Поскольку P - середина отрезка XN, Z - середина XY. Таким образом, середина каждого отрезка XY с концами на прямых a и b лежит в плоскости . Пусть теперь Z - произвольная точка плоскости , а прямая, проходящая через точку Z параллельно прямой b, пересекает прямую a в точке P. Тогда точка P лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые a и a. Следовательно, прямая NP пересекает прямую a в некоторой точке, которую мы обозначим через X. Поскольку PZ || b || b, прямые PZ и b лежат в одной плоскости. В этой же плоскости лежит и точка X (т.к. X лежит на прямой NP), а, следовательно, - и прямая XZ. Пусть прямые XZ и b пересекаются в некоторой точке Y. Поскольку K - середина MN, P - середина NX, а т.к. PZ || NY, то Z - середина XY. Таким образом, каждая точка Z плоскости является серединой некоторого отрезка XY с концами на скрещивающихся прямых a и b.
Об авторе:
Facta loquuntur.
Форма ответа