Здравствуйте, mfti!

Рассмотрим задание а.







(чтобы не тратить время на утомительные расчёты, для определения корней уравнений и я использовал этот онлайн-калькулятор: Ссылка >>). В результате заданный многочлен четвёртой степени представлен в виде произведения двух многочленов второй степени с действительными коэффициентами. Может статься, однако, что полученный ответ не вполне удовлетворяет заданию, потому что в произведении отсутствуют многочлены первой степени. Возможно, знатоки математики дадут Вам подходящее решение.

P. S. Закончив указанный выше расчёт, я понял, что полученный ответ достигался гораздо проще:

Пример а).

Решим уравнение 324*z⁴+1=0

Получаем z⁴=-1/324=1/324*exp( j*{[$960$] + 2[$960$]*N}), где N - целое число

Значит, z = r*exp( j*{[$960$]/4 + [$960$]*N/2}), где r= (1/324)^1/4=1/sqrt(18)=1/(3*sqrt(2))

Если их нанести на единичную окружность, то получаем аргументы четырех корней: [$960$]/4, 3*[$960$]/4, 5*[$960$]/4, 7*[$960$]/4

Учитывая, что exp(j*[$966$])=cos([$966$]) + j*sin([$966$]), и подставляя найденные значения r и [$966$], получаем значения четырех корней:

1/6*(1 + j)
1/6*(-1 + j)
1/6*(-1 - j)
1/6*(1 - j)

где 1/6=r/sqrt(2)= 1/(3*sqrt(2))*1/sqrt(2)

Обозначим A=1/6

Теперь находим многочлены второй степени, умножения многочлены первой степени для комплексно сопряженных корней.

324*z⁴+1=324*{z - A*(1 + j) }*{z - A*(1 - j) }*{z - A*(-1 + j) }*{z - A*(-1 - j) }

Для умножения комплексно сопряженные чисел можно вывести формулу: (a + j*b)*(a - j*b) = a² - j²*b²=a² + b².

Следует также учесть, что в этих выражениях z - вещественное число, поэтому входит в действительную часть. Получаем:

324*z⁴+1=324*[ (z-A)²+A² ]*[ (z+A)²+A² ]=
= 324*[ z² - 2*A*z + 2*A²]*[ z² + 2*A*z + 2*A²] =
=[ 18*z² - 36*A*z + 36*A²]*[ 18*z² + 36*A*z + 36*A²]

Вспоминая, что A=6, получаем

324*z⁴+1=[ 18*z² - 6*z + 1]*[ 18*z² + 6*z + 1]

ОТВЕТ: 324*z⁴+1=[ 18*z² - 6*z + 1]*[ 18*z² + 6*z + 1]