Здравствуйте, Pavel!
Условие : функция y(x,a) = x / (x² + a²)
Вычислить наибольшее значение функции.

Решение: наибольшее значение данной функции не удаётся описать одной формулой. Приходится рассматривать 3 случая отдельно.

1) a = 0 . В этом случае функция вырождается в гиперболу y(x,0) = x / (x² + 0²) = x / x² = 1 / x
Эта стандартная гипербола f(x) = 1 / x убывает на всей области определения (0 ; [$8734$]) .
Производная этой функции f'(x) = -1 / x² < 0 - всегда отрицательна для любого x > 0 .
Функция f(x) = 1 / x НЕ определена в точке x = 0 , однако именно предел справа к этой точке даёт искомое наибольшее значение, равное +бесконечности.

2) a > 0 . Вычисляем производную функции y'(x,a) = dy(x,a) / dx = [x / (x² + a²)]'
Используем формулу вычисления производной частного 2х под-функций: (u / v)' = (u'·v - u·v') / v²
Тут u = x , v = x² + a²
Тогда : u' = 1 , v' = 2·x
y'(x,a) = [1·(x² + a²) - x·(2·x)] / (x² + a²)² = (x² + a² - 2·x²) / (x² + a²)² = (a² - x²) / (x² + a²)²
Приравниваем производную нулю : y'(x,a) = (a² - x²) / (x² + a²)² = 0
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю : a² - x² = 0
Получаем критические точки : x² = a² , x = ±a
Отбрасываем отрицательный корень, тк согласно Условию нам задан промежуток x = (0 ; +[$8734$]) .
Получаем искомый максимум для точки x = a :
y(a,a) = a / (a² + a²) = a / (2·a²) = 1 / (2·a)

3) a < 0 - те же вычисления, что и для a > 0 , но искомое наибольшее значения функции будет равно
y(a,a) = - 1 / (2·a) , потому что переменная a возводится в квадрат, а значение функции всегда положительно на промежутке x = (0 ; +[$8734$]) .

Ответ : при a = 0 наибольшее значение функции равно бесконечности,
при a <> 0 наибольшее значение функции равно 1 / (2·|a|) .

Для проверки правильности рассчётов я начертил графики в программе ru.wikipedia.org/wiki/Mathcad . Маткад-скриншот прилагаю ниже. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом.

См также учебно-методическую статью "Возрастание, убывание и экстремумы функции" Ссылка
Если у Вас остались вопросы, Вы можете задать их в минифоруме Вашей Консультации.