Здравствуйте, Svet_Vitalievna!

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения является суммой общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. В данном случае уравнению

соответствует характеристическое уравнение

имеющее корень k = 6 кратности 2, поэтому общее решение будет иметь вид

Частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с правой частью вида

где P[sub]n[/sub](x), Q[sub]n[/sub](x) - многочлены степени n, и число [$945$]+i[$946$] является корнем соответствующего характеристического уравнения кратности k (k = 0, если число не является корнем), ищется в виде

где U[sub]n[/sub](x), V[sub]n[/sub](x) - также многочлены степени n (константы при n = 0).
В данном случае для правой части sin 6x имеем P(x) = 0, Q(x) = 1, [$945$] = 0, [$946$] = 6, и число 6i не является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение будем искать в виде y = A cos 6x + B sin 6x. Коэффициенты A и B подбираем, подставляя частное решение в исходное уравнение:



Приравнивая соответствующие коэффициенты, получаем A = 1/72, B = 0, то есть y = 1/72 cos 6x - частное решение и

- общее решение.