Здравствуйте, pishhalnikova01!

Метод Лагранжа состоит в следующем: пусть необходимо найти экстремумы функции f[sub]0[/sub](x[sub]1[/sub],... x[sub]n[/sub]) при условии, что f[sub]i[/sub](x[sub]1[/sub],... x[sub]n[/sub]) = 0, i = 1,...m, где функции f[sub]0[/sub], f[sub]1[/sub],... f[sub]m[/sub] непрерывно дифференцируемы на R[sup]n[/sup] (то есть имеют непрерывные частные производные первого порядка). Функция

называется функцией Лагранжа. Тогда необходимым условием экстремума функции f[sub]0[/sub] в точке будет равенство нулю частных производных первого порядка функции Лагранжа

Достаточным условием экстремума при этом будет неравенство нулю дифференциала второго порядка функции Лагранжа

причём при d[sup]2[/sup]L < 0 будем иметь точку максимума, а при d[sup]2[/sup]L > 0 - точку минимума.
В данном случае f[sub]0[/sub](x, y) = 3x[sup]2[/sup]-3y[sup]2[/sup]+72x-9 и f[sub]1[/sub](x, y) = x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]-16 = 0. Функция Лагранжа имеет вид

Вычислим частные производные:


Требуется решить систему трёх уравнений с четырьмя неизвестными:

Полагая [$955$][sub]0[/sub] = 1, получаем

откуда

Из последнего равенства получаем [$955$][sub]1[/sub] = 6 и [$955$][sub]1[/sub] = -12, что даёт две потенциальные точки экстремума - (-4, 0) и (4, 0). Для проверки найдём частные производные второго порядка функции Лагранжа



и запишем дифференциал второго порядка функции Лагранжа:

Из условия x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]=16 следует, что d(x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]) = 2x dx + 2y dy = 0, откуда dx = -y/x dy и

Для [$955$][sub]0[/sub] = 1, [$955$][sub]1[/sub] = 6, x = -4, y = 0 получаем

то есть (-4, 0) - точка минимума, равного z(-4, 0) = -249. Для [$955$][sub]0[/sub] = 1, [$955$][sub]1[/sub] = -12, x = 4, y = 0 получаем

то есть (4, 0) - точка максимума, равного z(4, 0) = 327.