Здравствуйте, akhanova.ksu!
Дано : закон движения r^[$8594$](t) = A·t⁵·i^[$8594$] + B·t⁶·j^[$8594$] , t1 = 0,2 с , t2 = 0,4 с , A = 50 м/с⁵ , B = 70 м/с⁶ .
Найти уравнение траектории y=y(x) и построить график.
Вычислить модуль вектора перемещения точки в заданном интервале времени.
Вычислить модули начальной V1 и конечной V2 скоростей точки.

Решение : Подставим значения постоянных величин A и B в закон движения мат-точки.
Выражение для радиус-вектора примет вид :
r^[$8594$](t) = 50·t⁵·i^[$8594$] + 70·t⁶·j^[$8594$]
Выразим Ортогональные проекции : x(t) = 50·t⁵ , y(t) = 70·t⁶

Для получения уравнение траектории y=y(x) выразим t ч-з x из выражения x-проекции :
x / 50 = t⁵
t = ⁵[$8730$](x / 50) = (x / 50)^1/5 = 0,4573·x^1/5
Тогда y(x) = 70·t⁶ = 70·(0,4573·x^1/5)⁶ = 0,640·x^6/5
График зависимости y(x) прилагаю ниже.

Координаты мат-точки в момент времени t1
x1 = 50·t1⁵ = 50·0,2⁵ = 0,016 м
y1 = 70·t1⁶ = 70·0,2⁶ = 0,004 м

Координаты мат-точки в момент времени t2
x2 = 50·t2⁵ = 50·0,4⁵ = 0,512 м
y2 = 70·t2⁶ = 70·0,4⁶ = 0,287 м

Модуль вектора перемещения точки в интервале времени t1…t2 :
S = [$8730$][(x2 - x1)² + (y2 - y1)²] = 0,57 м

Скорость является производной по времени от радиус-вектора. Получим проекции скорости:
Vx(t) = dx(t)/dt = (50·t⁵)' = 250·t⁴
Vy(t) = dy(t)/dt = (70·t⁶)' = 420·t⁵

Модуль начальной скорости : V1 = [$8730$][Vx(t1)² + Vy(t1)²] = [$8730$][(250·0,2⁴)² + (420·0,2⁵)²] = 0,42 м/с
Модуль конечной скорости : V2 = [$8730$][Vx(t2)² + Vy(t2)²] = [$8730$][(250·0,4⁴)² + (420·0,4⁵)²] = 7,71 м/с

Ответ: модуль вектора перемещения равен 0,57 м,
Модули начальной и конечной скоростей равны 0,42 м/с и 7,71 м/с соответственно.