Здравствуйте, Гаяна!
Дано : функция y(x) = (1+x)² / (x-1)²
Требуется : Провести полное исследование и построить график данной функции.

Решение : Исследуем Вашу функцию по алгоритму учебной статьи "Исследовать функцию методами дифференциального исчисления" Ссылка1

1)Область определения функции - вся числовая прямая, кроме x=1 . В точке x=1 функция терпит бесконечный разрыв второго рода (см Точки разрыва функции Ссылка2).

2)Является ли функция чётной либо нечётной ?

y(-x) [$8800$] -y(x) , значит, данная функция не является чётной либо нечётной.
Очевидно, что функция НЕпериодическая.

3)Асимптоты, поведение функции на бесконечности : С помощью односторонних пределов исследуем поведение функции вблизи подозрительной точки =1 , где явно должна быть вертикальная асимптота:


Функции терпит бесконечный разрыв в точке x=1 , Значит, вертикаль x=1 является вертикальной асимптотой графика y(x) .

4)Проверим, существуют ли наклонные асимптоты?


Вывод : прямая, заданная уравнением y=1 является горизонтальной асимптотой графика функции
y(x) = (1+x)² / (x-1)² при x[$8594$] [$177$][$8734$] .

5)Выясним, как ведёт себя функция на бесконечности ?

Иными словами, если идём бесконечно вправо или бесконечно влево, то значени функция стремится к 1.

6) Нули функции и интервалы знакопостоянства : Сначала найдём точку пересечения графика с осью ординат при x = 0 :
f(0) = 1

7)Чтобы найти точки пересечения с осью 0X (нули функции) требуется решить уравнение y(x) = 0 . Его решение : x=-1 .
Однако, функция НЕ пересекает ось 0X , а лишь касается её.

8)Эстремумы функции : Найдём критические точки, приравняв нулю производную функции :

Данное уравнение имеет 1 действительный корень x=-1 . Отложим его на числовой прямой и обозначим знаки производной :

Следовательно, функция возрастает на участке x=(-1 , +1) и убывает на x=(-[$8734$] , -1) и x=(+1 , +[$8734$]) .
В точке x=-1 функция достигает минимума y(-1) = 0
В точке x=1 функция терпит разрыв.

9) Выпуклость, вогнутость и точки перегиба : Найдём критические точки второй производной :

Единственный действительный корень x=-2 - это точка перегиба. Отложим её на числовой прямой.
График функции является вогнутым на участке x=(-[$8734$] , -2) и выпуклым на x=(-2 , +[$8734$]) с разрывом в x=+1 .

10) Построенный график функции прилагаю вместе с 2мя графиками знаков производных.