Здравствуйте, dar777!
Дано: x=Asin(2[$969$]t), см, y=Acos([$969$]t), см -- уравнения колебаний точки во взаимно перпендикулярных направлениях; A=5 см -- амплитуда колебаний точки в обоих направлениях; [$969$]=[$960$]/3 рад/с -- циклическая частота колебаний точки вдоль оси ординат.
Определить: F(x, y)=0 -- уравнение результирующего колебания точки.
Решение
Чтобы вывести уравнение результирующего колебания точки, исключим время t из заданных уравнений колебаний. Для этого воспользуемся формулами cos([$945$]/2)=+-[$8730$]((1+cos([$945$]))/2) [1, с. 36], сos
2([$945$])+sin
2([$945$])=1 [1, с. 19]. Приняв [$945$]=2[$969$]t, получим
x=Asin([$945$]),
sin([$945$])=x/A; sin2([$945$])=x2/A2;
y=Acos([$945$]/2)=+-A[$8730$]((1+cos([$945$]))/2),
y2=A2((1+cos([$945$]))/2),
cos([$945$])=2y2/A2-1, cos2([$945$])=(2y2/A2-1)2;
x2/A2+(2y2/A2-1)2=1,
x2/A2+4y4/A4-4y2/A2=0,
x2/A2-4y2/A2(1-y2/A2)=0,
x2-4y2(1-y2/A2)=0,
x2-4y2(1-y2/25)=0,
-- искомое уравнение траектории точки; его можно задать и так:
x=+-2y[$8730$](1-y^2/25).
График этой линии показан в прикреплённом файле. Синим цветом обозначена линия x=-2y[$8730$](1-y^2/25), красным цветом -- линия x=+2y[$8730$](1-y^2/25).
В задании указаны циклические частоты обоих колебаний. Поэтому, наверное, нужно установить, как точка движется по изображённой траектории. Заметим, что согласно формуле на странице 110 [2] период колебаний вдоль оси абсцисс составляет T
x=2[$960$]/(2[$969$])=[$960$]/[$969$]=[$960$]/([$960$]/3)=3 (с), период колебаний вдоль оси ординат составляет T
y=2[$960$]/[$969$]=2[$960$]/([$960$]/3)=6 (с). Период результирующих колебаний равен наименьшему общему кратному этих чисел и составляет T=6 с. Зададимся значениями t от 0 до 6 с с шагом [$916$]t=1 с и составим таблицу координат точки в соответствии с заданными уравнениями колебаний. Получим
[table]
[row][col]Номер точки[/col][col]1[/col][col]2[/col][col]3[/col][col]4[/col][col]5[/col][col]6[/col][col]7[/col][/row]
[row][col]t, с[/col][col]0[/col][col]1[/col][col]2[/col][col]3[/col][col]4[/col][col]5[/col][col]6[/col][/row]
[row][col]x, см[/col][col]0[/col][col]4,33[/col][col]-4,33 [/col][col]0[/col][col]4,33[/col][col]-4,33[/col][col]0[/col][/row]
[row][col]y, см[/col][col]5,00[/col][col]2,50[/col][col]-2,50[/col][col]-5,00[/col][col]-2,50[/col][col]2,50[/col][col]5,00[/col][/row]
[/table]
Пронумерованные положения точки тоже показаны в прикреплённом файле.
Ответ: x
2-4y
2(1-y
2/25)=0, или x=+-2y[$8730$](1-y^2/25).
Литература
1. Новосёлов С. И. Тригонометрия. Учебник для 9 -- 10 классов средней школы. -- М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1961. -- 96 с.
2. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. -- М.: Наука, 1977. -- 944 с.
Об авторе:
Facta loquuntur.