Здравствуйте, dar777!

Забавно:

Катушка с намотанной на неё нитью лежит на горизонтальной поверхности стола и катится по ней...

(выделено полужирным шрифтом мной).

С какой скоростью V будет перемещаться ось катушки, если конец нити тянуть в горизонтальном направлении со скоростью u?

Движение катушки по горизонтальной поверхности стола можно рассматривать в каждый момент времени как вращение с некоторой угловой скоростью вокруг оси (мгновенной оси вращения), проходящей через точку контакта катушки со столом перпендикулярно плоскости рисунка в прикреплённом файле. Рассматривая качение катушки как непрерывный ряд мгновенных вращений вокруг линии опоры, можно для каждого момента времени составить уравнения, связывающие линейную скорость любой точки катушки с угловой скоростью вращения вокруг мгновенной оси, если известен радиус поворота этой точки. Эти уравнения для точек и таковы:

При этом линейные скорости указанных точек имеют относительно мгновенной оси вращения, проходящей через точку одинаковые направления [1, с. 24]. Значит,

Каковы будут скорость VA и ускорение aA точки А?

Аналогичные рассуждения дают для модуля скорости точки величину

Направление этой скорости совпадает с направлением скорости точки

Я предполагаю, что с изложенной выше частью решения задачи может справиться ученик школы, изучивший механику в рамках элементарного курса физики. Чтобы определить направление и модуль ускорения точки требуются сведения излагаемые в курсах общей физики или теоретической механики для вузов. Воспользуемся теоремой 1 [2, с. 31]: "Всякое перемещение плоской фигуры в её плоскости можно осуществить путём поступательного перемещения фигуры вместе с произвольно выбранной точкой и вращательного перемещения фигуры с этой точкой". В Вашем случае фигурой является окружность радиуса на которой расположена точка за произвольно выбранную точку примем центр указанной окружности -- точку Поскольку окружность катится по горизонтальной прямой без скольжения, постольку окружная скорость точки во вращательном движении относительно точки равна скорости точки которая постоянна, то есть

тангенциальное ускорение точки равно нулю, а полное ускорение равно нормальному ускорению, имеет модуль

и направлено от точки к точке

Литература
1. Балаш В. А. Задачи по физике и методы их решения. -- М.: Просвещение, 1967. -- 415 с.
2. Акимов В. А. и др. Теоретическая механика. Кинематика. Практикум. -- Минск: Новое знание, 2011. -- 635 с.