Я думаю, что отрицательное значение сопротивления в данном случае всего лишь следствие того, что направление тока I₃ противоположно показанному на Вашей схеме. Поэтому в остальном выполненный Вами расчёт, по-моему, правильный и является решением задачи.

Владимир Николаевич! Даже если я ошибаюсь в своём сообщении, это не причина понижать мой рейтинг. Я ведь не стал "минусовать" Ваш ответ. Или я должен это сделать?

Вы писали : "отрицательное значение сопротивления в данном случае всего лишь следствие того, что направление тока I3 противоположно показанному на Вашей схеме" - Вы ошибаетесь : При решении технических задач решатель может задавать произвольно любые предполагаемые направления неизвестных (вычисляемых) токов и напряжений, и они будут скорректированы знаком значения, полученного в результате решения (вычисленный плюс-результ означает : направление угадано верно, минус - истинное направление противоположно предполагаемому).
"отрицательное значение сопротивления" НЕ зависит от направления стрелки на схеме и от фантазии решателя! Это - ошибка автора задачи!

"в остальном выполненный Вами расчёт, по-моему, правильный и является решением задачи" - эта поддержка моего решения противоречит Вашему первому предложению, в котором Вы подозреваете неправильно-выбранное мною направление тока I3, в результате которого сопротивление стало отрицательным, а задача превратилась из решаемой в НЕрешаемую. Кто мешал Вам тихонечко проверить своё подозрение своим рассчётом с инверсным направлением тока I3 на схеме? Теперь Автор Вопроса наверняка полагает, будто достаточно изменить на схеме предполагаемое направление тока I3 на противоположное, и задача будет иметь решение?! То есть (НЕ)решаемость задачи зависит от "кривого решателя"?

Вы своим подозрением вынуждаете меня решать эту задачу уже третьим методом, с другим направлением стрелки I3 на схеме (прилагаю ниже). Составляем уравнения по новой схеме.
I1 = (E1 - Uc) / R1
I2 = (E2 - Uc) / R2
I3 = (Uc - E3) / R3
I1 + I2 = I3

Уточняем из условия, что E2 - Uc = U2 , а E1 = E2 = E3 .
Тогда из 2го уравнения следует : I2 * R2 = U2
Из 1го уравнения : I1 * R1 = E1 - Uc = E2 - Uc = U2 (1)
I3 * R3 = Uc - E3 = -U2
I1 = I3 - I2 (2)

После подстановки I1 из уравнения (2) в (1) остаётся 3 уравнения :
(I3 - I2) * R1 = U2 (3)
I2 * R2 = U2 (4)
I3 * R3 = -U2 (5)

Из уравнения (4) получим I2 = U2/R2 = 6 / 12 = 0,5 Ампер,
Из уравнения (3) получим I3 = U2/R1 + I2 = 6/20 + 0,5 = 0,3 + 0,5 = 0,8 Ампер. Значит, при любом методе решения ток I3 течёт вниз по схеме.
Из уравнения (5) : R3 = -U2 / I3 = -6 / 0,8 = - 60/8 = -7,5 Ом.
Снова сопротивление вычислено с отрицательным значением, что физически НЕ бывает и НЕ зависит от направления стрелок на схеме.

Рейтинг - мелочи жизни, а точнее нашей игры на rfpro .
Мы не должны отнимать время жизни друг у друга своими подозрениями.

Да, я согласен с Вами: получается отрицательное значение сопротивления.

Однако, долг платежом красен, поэтому не удивляйтесь, если я словлю Вас на ошибке и понижу Ваш рейтинг...