Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
Доказать, что существует бесконечно много троек попарно различных ненулевых целых чисел (a, b, c) таких, что корни квадратного трехчлена ax² + bx + c и еще пяти квадратных трехчленов, полученных всевозможными перестановками коэффициентов a, b, c рациональны. Верно ли, что среди корней каждого из таких трехчленов обязательно есть целый?

Решение

1) Пусть f(x) = ax² + bx + c. Тогда f(1) = a+b+c. Поэтому если a+b+c = 0, то 1 будет корнем f(x) и всех квадратных трехчленов, полученных из f(x) перестановкой коэффициентов. Но если один из корней квадратного трехчлена с целыми коэффициентами рационален, то рационален и второй.

2) Ответ на второй вопрос задачи отрицателен. Например при a = 45, b = 8, c = -77 корни соответствующего трехчлена 11/9 и -7/5. верно