Здравствуйте, Руслан!

1) Функция определена на всём множестве действительных чисел.

2) Функция непрерывна на всём множестве действительных чисел, потому что является рациональной дробью и в каждой точке своей области определения имеет предельное значение, равное частному значению.

3) Функция является нечётной, потому что


4) Продифференцируем функцию:

Приравняем производную к нулю:

Это уравнение имеет два корня: При производная положительна и функция возрастает, при и производная отрицательна и функция убывает. Точка является точкой минимума функции, потому что при переходе через эту точку производная меняет знак с минуса на плюс. Точка является точкой максимума функции, потому что при переходе через эту точку производная меняет знак с плюса на минус. Вычислим значения функции в точках экстремума:



5) Продифференцируем функцию второй раз:



Приравняем вторую производную к нулю:

или

Это уравнение имеет три корня: Методом интервалов установим, что при и вторая производная положительна и график функции направлен выпуклостью вниз, при и вторая производная отрицательна и график функции направлен выпуклостью вверх. При переходе через точки вторая производная меняет свой знак, поэтому эти точки являются точками перегиба. Вычислим значения функции в точках перегиба:




6) Функция не имеет точек разрыва, поэтому у её графика нет вертикальных асимптот. Так как

то ось является горизонтальной асимптотой графика функции. Так как

то наклонных асимптот нет.

Вы можете самостоятельно выполнить эскиз графика функции, используя результаты сделанного анализа. При этом можете ориентироваться на следующий график, построенный на ресурсе в Интернете.