Здравствуйте, asdf1234!
Уравнение стороны AC найдем с помощью формулы прямой, проходящей через две заданные точки
и
Подставляя координаты точек
и
получаем
После упрощения уравнение стороны AC есть
Запишем уравнение стороны AC в виде
Коэффициенты при x и y суть координаты нормали к этой прямой, то есть вектора, ортогонального к AC. Этот вектор можно использовать в качестве направляющего для высоты, проведенной к AC. Для нахождения уравнения прямой с направляющим вектором
, проходящей через точку
есть формула:
Подставляя координаты направляющего вектора
и точки
находим уравнение высоты
которое можно переписать в виде
Прежде, чем переходить к следующему пункту, найдем уравнение стороны BC. Аналогично тому, как мы искали уравнение стороны AC, пользуемся формулой прямой, проходящей через две точки, и получаем
Длина высоты, проведенной из вершины A, может быть найдена по формуле расстояния от точки
до прямой
Подставляя координаты точки
и коэффициенты уравнения прямой BC
находим длину высоты из вершины A:
Для нахождения величины угла B можно воспользоваться следующим приемом: найти векторы BC и BA, а затем посчитать косинус угла между ними.
Вектор, у которого известны координаты начала
и конца
имеет координаты
Таким образом,
По формуле для нахождения косинуса угла между двумя векторами
(Напомним, что
обозначает скалярное произведение векторов
и
).
Таким образом,
радиан.
Наконец, уравнение биссектрисы угла B выводится из формулы расстояния от точки до прямой: поскольку биссектриса есть геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных прямых
и
все ее точки
удовлетворяют условию
Единственная сложность заключается в правильном избавлении от модулей: само по себе это уравнение задает две прямые: биссектрису нужного угла и ортогональную ей биссектрису смежного угла.
Мы можем найти уравнения прямых AB
и BC
Используя их, получаем для биссектрис уравнение
Из него можно получить два уравнения: раскрывая модули с одинаковыми знаками, получаем
раскрывая модули с разными знаками, находим
Чтобы выбрать нужное уравнение, достаточно заметить, что нормаль к искомой биссектрисе должна с одним из векторов
или
образовывать острый угол, а с другим тупой. Острый угол или тупой, можно различить по знаку скалярного произведения векторов: если угол между векторами острый, их скалярное произведение положительно, если тупой - отрицательно. Нормали к двум найденным прямым суть
и
Поскольку
а
и
первая прямая подходит, а вторая нет. Таким образом, уравнение биссектрисы угла B есть
С уважением.