Здравствуйте, samylovskaya1981!
1) Найдем координаты векторов АВ и АС:
Как известно, AB={Xв-Xа, Yв-Yа, Zв-Za} = {3-(-2), 0-(-1), -2-(-2)} = {5, 1, 0}
AC={Xc-Xa, Yc-Ya, Zc-Za} = {1-(-2), 4-(-1), 2-(-2)} = {3, 5, 4}
2) Найдем модули векторов |AB| и |AC|
|AB| = [$8730$](X_AB²+Y_AB²+Z_AB²) = [$8730$](5²+1²+0²) = [$8730$]26
|AC| = [$8730$](X_AC²+Y_AC²+Z_AC²) = [$8730$](3²+5²+4²) = [$8730$]50
3) Найдем косинус угла между векторами
cos(AB^AC) = (AB[$149$]AC)/(|AB|*|AC|)
Скалярное произведение AB[$149$]AC = X_AB*X_AС+Y_AB*Y_AС+Z_AB*Z_AС = 5*3+1*5+0*4 = 20
Тогда cos(AB^AC) = 20/([$8730$]26[$8730$]50) = 20/[$8730$](26*50) = 20/[$8730$](13*2*50) = 20/[$8730$](13*10²) = 20/(10*[$8730$]13) = 2/[$8730$]13 = (2[$8730$]13)/13
4) Найдем уравнение плоскости из условия равенства нулю скалярного произведения нормального (перпендикулярного) вектора к плоскости и любого вектора на плоскости, проходящего через заданную точку.
По условию, вектор АВ={5;1;0} является нормальным, а плоскость проходит через точку С(1;4;2).
Обозначим произвольную точку плоскости через M(x;y;z).
Тогда произвольный вектор, принадлежащий плоскости и проходящий через точку С, будет иметь вид CM ={x-1;y-4;z-2}
Скалярное произведение AB[$149$]CM = 5(x-1)+1(y-4)+0(z-2) = 5(x-1)+1(y-4) = 5x+y-9
Чтобы вектора АВ и СМ были перпендикулярны, необходимо, чтобы AB[$149$]CM = 0.
Откуда 5x+y-9 = 0 и будет уравнением требуемой плоскости.