Консультация № 188734
29.01.2016, 02:58
0.00 руб.
29.01.2016, 17:34
0 16 1
Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ, КАК ПОСТАВЛЕН ВОПРОС:
Сколько целых чисел от 1 до 2016 включительно не делятся на 3 или 5 или 7?
ОБЫЧНО ставят вопрос "ни на 3, ни на 5, ни на 7".
Как правильно решить эту задачу?

Обсуждение

давно
Старший Модератор
312929
1973
29.01.2016, 04:10
общий
это ответ
Здравствуйте, svrvsvrv!

Вначале ответим на противоположный вопрос: сколько целых чисел от 1 до 2016 включительно делятся одновременно на 3, 5 и 7? Поскольку числа 3, 5 и 7 - простые, то минимальное число, делящееся одновременно на все три числа, будет равно их произведению: 3[$183$]5[$183$]7 = 105. Все последующие числа, делящееся одновременно на 3, 5 и 7, будут кратны 105. Следовательно, среди целых чисел от 1 до 2016 включительно делиться одновременно на 3, 5 и 7 будут 19 чисел, кратные 105 (105, 210, 315, 420, 525, 630, 735, 840, 945, 1050, 1155, 1260, 1365, 1470, 1575, 1680, 1785, 1890 и 1995). Остальные 1997 чисел (2016-19) не будут делиться хотя бы на одно из чисел 3, 5 или 7.
давно
Посетитель
399424
894
29.01.2016, 05:07
общий
Но ведь среди оставшихся чисел будут и те, что не будут делиться ни на 3, ни на 5, ни на 7? Не нарушает ли это условие задачи?
давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
29.01.2016, 06:52
общий
Адресаты:
Цитата: svrvsvrv
Но ведь среди оставшихся чисел будут и те, что не будут делиться ни на 3, ни на 5, ни на 7? Не нарушает ли это условие задачи?

Не нарушает, по-моему.
Об авторе:
Facta loquuntur.
давно
Посетитель
399424
894
29.01.2016, 10:33
общий
Меня беспокоит следующее:
Наш вопрос - сколько целых чисел от 1 до 2016 включительно не делятся на 3 или 5 или 7?
Другим было бы решение задачи с вопросом - сколько целых чисел от 1 до 2016 включительно не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7?
Ведь решения этих задач должны отличаться?
давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
29.01.2016, 10:59
общий
Адресаты:
Почем бы не поступить так? Воспользуйтесь MS Excel и проверьте делимость чисел от 1 до 2016 на 3, 5, 7. Потом из этих чисел выберите те, которые не делятся хотя бы на один из указанных делителей. Потом из тех же чисел выберите те, которые не делятся ни на один из указанных делителей. Потом сравните.

Именно так я поступал в своё время, когда приходилось проверять решение подобных задач.
Об авторе:
Facta loquuntur.
давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
29.01.2016, 11:09
общий
Адресаты:
Уважаемые коллеги! Если не трудно, ответьте, пожалуйста, на сообщение автора вопроса.
Цитата: svrvsvrv
Меня беспокоит следующее:
Наш вопрос - сколько целых чисел от 1 до 2016 включительно не делятся на 3 или 5 или 7?
Другим было бы решение задачи с вопросом - сколько целых чисел от 1 до 2016 включительно не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7?
Ведь решения этих задач должны отличаться?
Об авторе:
Facta loquuntur.
давно
Посетитель
7438
7205
29.01.2016, 11:23
общий
Адресаты:
Разумеется, спрашивается о разном:
сколько целых чисел от 1 до 2016 включительно не делятся на 3 или 5 или 7
Спрашивается о числах, которые не делятся хотя бы на одно число из 3, 5, 7. Т.е. исключаются только числа, которые делятся на все сразу. Ответ на этот вопрос и был дан Алексеем Коцюрбенко.
сколько целых чисел от 1 до 2016 включительно не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7
Здесь же спрашивается о числах, которые не делятся ни на одно из чисел из 3, 5, 7. Т.е. надо исключить все числа, которые делятся на любое из этих чисел.
Об авторе:
"Если вы заметили, что вы на стороне большинства, —
это верный признак того, что пора меняться." Марк Твен
давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
29.01.2016, 13:12
общий
Адресаты:
Цитата: svrvsvrv
сколько целых чисел от 1 до 2016 включительно не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7?

Вы, наверное, и сами знаете, как решается эта задача.
Об авторе:
Facta loquuntur.
давно
Посетитель
399424
894
29.01.2016, 13:23
общий
Нет. Запутан настолько, что уже сомневаюсь даже в простых истинах.
давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
29.01.2016, 13:31
общий
Адресаты:
Тогда подождите. Надеюсь, авторы ответов откликнутся на мою просьбу.
Об авторе:
Facta loquuntur.
давно
Старший Модератор
312929
1973
29.01.2016, 16:55
общий
Адресаты:
Цитата: svrvsvrv
Меня беспокоит следующее:
Наш вопрос - сколько целых чисел от 1 до 2016 включительно не делятся на 3 или 5 или 7?
Другим было бы решение задачи с вопросом - сколько целых чисел от 1 до 2016 включительно не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7?
Ведь решения этих задач должны отличаться?

Несомненно, решения должны отличаться. В первом случае подсчитываются числа, которые не делятся хотя бы на один из делителей 3, 5, 7 (то есть все, кроме тех, что делятся на все три). Во втором случае подсчитываются числа, которые не делятся ни на один из делителей 3, 5, 7. Решение второй задачи будет частью решения первой (но не наоборот).

Для примера рассмотрим целые числа от 1 до 105 включительно (для наглядности, но можно было взять любые 105 подряд идущих чисел). Среди них только одно делится сразу и на 3, и на 5, и на 7 - это число 105. Остальные числа от 1 до 104 будут делиться максимум на два из этих делителей, то есть каждое из них не делится или на 3, или на 5, или на 7, удовлетворяя тем самым условию первой задачи. Некоторые (но не все!) не будут делиться ни на 3, ни на 5, ни на 7, удовлетворяя условию второй задачи.
давно
Посетитель
399424
894
29.01.2016, 17:00
общий
Я так понимаю, ответ в 1 задаче 921, а во 2-й - 1997?
давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
29.01.2016, 18:08
общий
Адресаты:
Цитата: svrvsvrv
Я так понимаю, ответ в 1 задаче 921, а во 2-й - 1997?

Наоборот.
Цитата: Коцюрбенко Алексей Владимирович
В первом случае подсчитываются числа, которые не делятся хотя бы на один из делителей 3, 5, 7 (то есть все, кроме тех, что делятся на все три). Во втором случае подсчитываются числа, которые не делятся ни на один из делителей 3, 5, 7. Решение второй задачи будет частью решения первой (но не наоборот).


Теперь, надеюсь, Вы имеете все данные для анализа и создания алгоритма, позволяющего решать задачи этого типа. Здесь существенно, что числа 3, 5, 7 - простые, а поэтому и взаимно простые.
Об авторе:
Facta loquuntur.
давно
Посетитель
399424
894
30.01.2016, 00:02
общий
Большое спасибо. Вы мне очень помогли.
давно
Посетитель
399424
894
30.01.2016, 00:40
общий
Только разве решение второй задачи будет частью решения первой?


ПЕРВАЯ ЗАДАЧА: сколько целых чисел от 1 до 2016 включительно не делятся на 3 или 5 или 7?
В первой задаче решение 2016-2016:(3х5х7)=1997.
ОТВЕТ: 1997.

ВТОРАЯ ЗАДАЧА: сколько целых чисел от 1 до 2016 включительно не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7?
Во второй задаче решение будет такое (если я правильно понял):
Количество чисел, делящихся на 3, 5, 7:
[2016/3]=672, [2016/5] = 403, [2016/7]=288.
Количество чисел, делящихся на 3*5, 3*7, 5*7:
[2016/(3*5)]=134, [2016/(3*7)]=96, [2016/(5*7)]=57.
Количество чисел, делящихся на 3*5*7:
[2016/(3*5*7)]=19
Количество чисел, делящихся на 3 или 5 или 7, находим по формуле включений-исключений:
672 + 403 + 288 - 134 - 96 - 57 + 19 = 1095.
Количество чисел, НЕ делящихся ни на 3, ни на 5, ни на 7:
2016 - 1095 = 921.
ОТВЕТ: 921.


ПРАВИЛЬНО ЛИ Я ПОНЯЛ?
давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
30.01.2016, 03:11
общий
Адресаты:
Цитата: svrvsvrv
Только разве решение второй задачи будет частью решения первой?

К числам, которые не делятся или на 3, или на 5, или на 7 (первая задача), относятся:
1) числа, которые не делятся только на одно из чисел 3, 5, 7;
2) числа, которые не делятся только на два из чисел 3, 5, 7;
3) числа, которые не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7 (вторая задача).

Я проснулся среди ночи и побоявшись, что ранее неверно ответил на Ваш вопрос, пошёл к компьютеру...

Наверное, Вы готовитесь или к математической олимпиаде, или к единому экзамену. По-моему, в первом случае, нужно, если возможно, от участия отказаться. А во втором случае главное - не брать на себя большие обязательства.
Об авторе:
Facta loquuntur.
Форма ответа