Здравствуйте, Посетитель - 399097!

Заметим, что сечение двух пересекающихся плоскостей третьей даёт 2 параллельные прямые только, если секущая плоскость параллельна линии пересечения двух плоскостей. Таким образом, чтобы сечение пирамиды было трапецией, нужно, чтобы секущая плоскость была параллельна ребру пирамиды. Рассматривая чертёж, нетрудно убедиться, что из всех рёбер пирамиды секущая плоскость должна быть параллельна ребру AB, чтобы основания трапеции находились на гранях ABS и ABCD.
Остаётся только доказать, что плоскость действительно параллельна ребру AB.

Для этого проведём плоскость V через вершину пирамиды перпендикулярно ребру AB. Точки S₁ и O также находятся в этой плоскости. Проецируем остальные точки на это плоскость:
A, B [$8594$] B'
C, D [$8594$] C'
M [$8594$] M'
L [$8594$] L'

обозначаем сторону основания пирамиды a и высоту H
находим длины отрезков

B'C'=BC=a (проекция на параллельную плоскость
B'L'=(1/2)L'C'=(1/3)a
Откуда L'O=(1/2-1/3)a=(1/6)a

из AM=MS следует B'M'=M'S
откуда через подобие треугольников SB'O и SM'S₂
M'S₂=(1/2)B'O=(1/4)B'C'=(1/4)a
SS₂=(1/2)SO=(1/2)H

Также отмечаем
S₁O=H
S₁S₂=(2-1/2)H=(3/2)H
Откуда
S₁O/L'O=S₁S₂/M'S₂=6H/a
Из подобия треугольников S₁OL' и S₁S₂M' следует,
что точки S₁, L' и M' находятся на одной прямой.
Поскольку точки S₁, L и M на одной прямой явно не находятся,
нахождение их проекций на плоскость V на одной прямой означает, что плоскость S₁ML перпендикулярна плоскости V
Отсюда плоскость S₁ML параллельна ребру AB, перпендикулярному плоскости V и отсекает на гранях ABS и ABCD отрезки MM₁ и LL₁, параллельные ребру AB.
таким образом, сечение является трапецией, а её равнобокость доказывается симметрией относительно плоскости V.

Нетрудно установить, что длины оснований трапеции
LL₁=AB=a (поскольку LL₁||AB, а ABCD - квадрат)
MM₁=(1/2)AB=(1/2)a (из подобия треугольников SAB и SMM₁)
откуда длина её средней линии (LL₁+MM₁)/2=(3/4)a=(3/4)[$183$]6=4,5