Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:
Проверьте пожалуйста правильно ли я решила
Найти решение краевой задачи
x^2 y^''-6y=0;y(0)=3;y(1)=2
Решение.
Это уравнение Эйлера, поэтому сделаем замену переменных
t=lnx;x=e^t
Выражения для производных имеют вид:
y_x^'=e^(-t) y_t^';y_xx^''=e^(-2t) (y_tt^''-y_t^' )
поэтому после подстановки в уравнение получим:
e^2t e^(-2t) (y_tt^''-y_t^' )-6y=0
или после приведения подобных членов:
y_tt^''-y_t^'-6y=0
Составим характеристическое уравнение:
k^2-k-6=0
найдем собственные значения:
k_1=-2;k_2=3
Теперь выпишем общее решение:
y(t)=C_1 e^(3t)+C_2 e^(-2t)
y(x)=C_1 x^3+C_2/x^2
Из первого условия краевой задачи следует:
lim┬(x→0)(C_1 x^3+C_2/x^2 )=3
то
C_2=0
Далее из условия y(1)=2 получаем:
C_1=2
Поэтому:
y=2x^3,0≤x≤+∞