Консультация № 187506
10.07.2013, 20:17
100.51 руб.
0 22 1
Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
Жидкость (гидрофобный состав) доводится до температуры кипения (140 градусов C и более). Далее в эту жидкость помещается брусок древесины.
Как определить (рассчитать) время, за которое брусок древесины достигнет температуры состава (жидкости)?

Обсуждение

давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
10.07.2013, 20:54
общий
10.07.2013, 20:57
Сначала нужно составить дифференциальное уравнение теплопроводности, учитывая анизотропию древесины. Должны быть известны размеры бруска и ориентация волокон древесины. Задаться начальными условиями, решить составленное уравнение. В результате будет известно распределение температуры в бруске... Решение задачи существенно усложнится, если в жидкости возникают течения, связанные с температурным градиентом, а также её температура не поддерживается постоянной.

Эти вопросы рассматривает раздел математики под названием уравнения математической физики, а скорее, её технические приложения, например, теория теплопередачи.

Откуда взялась эта задача?
Об авторе:
Facta loquuntur.
Неизвестный
10.07.2013, 21:34
общий
Адресаты:
Размеры бруска и ориентация волокон можно взять любые...
Спасибо за наводку!

При помещении бруска в гидрофобный состав на определенное время происходит процесс сушки древесины... И нужно узнать когда брусок прогреется до нужной температуры.
давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
11.07.2013, 07:26
общий
11.07.2013, 07:48
По-видимому, Вам надо обратиться к специальной литературе по технологии сушки древесины. Может быть, там рассматриваются подобные задачи. Вплоть до готовых формул. Попробуйте загрузить эту книгу. Есть ещё список литературы из статьи.

Азы изложены здесь.
Об авторе:
Facta loquuntur.
Неизвестный
11.07.2013, 08:15
общий
Адресаты:
Большое спасибо, буду смотреть.
давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
11.07.2013, 09:43
общий

Если предложенная информация достаточна для самостоятельного решения задачи, сообщите, пожалуйста. Я тогда оформлю ответ. Если нет, поработаем ещё.
Об авторе:
Facta loquuntur.
Неизвестный
11.07.2013, 10:36
общий
Адресаты:
Можно я дам ответ вечером?
давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
11.07.2013, 11:13
общий

Конечно, я же Вас не тороплю.
Об авторе:
Facta loquuntur.
Неизвестный
11.07.2013, 21:52
общий
11.07.2013, 21:53
Адресаты:
Давайте еще раз уточним порядок действий:
1. Я использую дифференциальное уравнение теплопроводности - Теплопроводность.
2. Начальными условиями у меня будет исходная температура бруска древесины.
3. Граничные условия: температура на краях бруска (т.е. температура жидкости в которую будет помещен брусок).
4. Решая систему уравнений я найду за какой момент времени у меня будет достигнута нужная температура бруска древесины.

Скажите, пожалуйста, я правильно описал алгоритм действий?
давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
11.07.2013, 22:31
общий

Чтобы решить уравнение теплопроводности аналитически, Вы должны иметь навыки решения дифференциальных уравнений в частных производных. Альтернативой является численное решение этого уравнения. Но тогда нужно владеть соответствующими методами. Выбирайте сами.

Не совсем понятно, какую систему уравнений Вы имеете в виду в четвёртом пункте алгоритма.

В литературе по сушке древесины нужную формулу Вы не нашли?
Об авторе:
Facta loquuntur.
давно
Мастер-Эксперт
27822
2370
11.07.2013, 22:33
общий
11.07.2013, 22:39
Цитата: 397334
Я использую дифференциальное уравнение теплопроводности

Учитывается ли в этом уравнении, что в одно и то же время разные слои бруска будут иметь разную температуру? И отдаёте ли Вы себе отчёт, что это приведёт к деформации бруска? (Отвечать на эти вопросы не обязательно).
Неизвестный
12.07.2013, 08:22
общий
Адресаты:
Я собираюсь решать уравнение численно.
В четвертом пункте я имею ввиду: составленное уравнение и начальные и граничные условия.
В литературе по сушке готовой формулы нет, но кое-где в расчетах используется уравнение теплопроводности.
Неизвестный
12.07.2013, 08:36
общий
Адресаты:
Нет, не учитывается. Спасибо, за замечание.
давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
12.07.2013, 08:51
общий
12.07.2013, 08:56
Адресаты:
Решив аналитически дифференциальное уравнение, можно получить функцию T(x, y, z, t) распределения температуры в теле бруска. Поэтому на вопрос
Цитата: SFResid
Учитывается ли в этом уравнении, что в одно и то же время разные слои бруска будут иметь разную температуру?

давать ответ
Цитата: 397334
Нет, не учитывается.

неверно.
Об авторе:
Facta loquuntur.
давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
12.07.2013, 08:53
общий
12.07.2013, 08:54
Если Вы собираетесь решать уравнение численно, то, по-видимому, будете находить температуру в геометрическом центре бруска как функцию времени?
Об авторе:
Facta loquuntur.
Неизвестный
12.07.2013, 10:05
общий
Адресаты:
По-видимому, да.

Скажите, пожалуйста, получив распределение температуры в бруске во времени, таким образом, я смогу найти время, за которое будет достигнута нужная температура? Я правильно понимаю?
давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
12.07.2013, 10:23
общий
12.07.2013, 10:25
Я думаю, что функция T(x, y, z, t) - аналитическое решение дифференциального уравнения - может и не зависеть от t явно. Поэтому при аналитическом решении нужно задаваться значением t, чтобы найти температуру T в рассматриваемой точке. В случае явной зависимости, конечно, можно найти t = t(x, y, z, T).

При численном решении, если не ошибаюсь, ситуация примерно та же.
Об авторе:
Facta loquuntur.
Неизвестный
12.07.2013, 10:43
общий
Адресаты:
Хорошо, спасибо. А тогда в какой точке рассматривать значение температуры, чтобы узнать что брусок полностью нагрелся до нужной температуры.
В центральной точке бруска?
давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
12.07.2013, 11:28
общий

Математики - не технологи, поэтому в какой точке бруска должна быть достигнута некоторая температура - решать Вам. Исходя же из математической логики, нужно рассматривать центральную точку бруска, если он имеет правильную форму. В этом случае весь брусок будет находиться при заданной температуре. В случае неправильной формы бруска ситуация сложнее, потому что найти наиболее удалённую от краёв бруска точку не так-то просто.
Об авторе:
Facta loquuntur.
Неизвестный
12.07.2013, 11:52
общий
Адресаты:
Большое спасибо, теперь все стало на свои места. Вопросов больше нет.
давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
12.07.2013, 17:48
общий
это ответ
Здравствуйте, Влад!

Нужно составить дифференциальное уравнение теплопроводности, учитывая анизотропию древесины. Должны быть известны размеры бруска и ориентация волокон древесины. Задаться начальными условиями, решить составленное уравнение аналитически или численным методом.

Функция T(x, y, z, t) - аналитическое решение дифференциального уравнения - может и не зависеть от t явно. Поэтому при аналитическом решении нужно задаваться значением t, чтобы найти температуру T в рассматриваемой точке. В случае явной зависимости можно найти t = t(x, y, z, T). При численном решении нужно задаться координатами наиболее удалённой от границ бруска точки, чтобы проследить функциональную зависимость температуры в этой точке от времени. При правильной форме бруска такой точкой является его центр.

С уважением.
5
Об авторе:
Facta loquuntur.
давно
Мастер-Эксперт
259041
7459
14.07.2013, 01:11
общий
А может это задача на сообразительность? И достаточно просто ответить преподавателю, что температура в центре бруска со временем приближается к температуре размешанной жидкости асимптотически , но теоретически никогда не достигнет её?
давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
14.07.2013, 07:23
общий
Адресаты:

По-моему, рассматривалась задача не для студентов.
Об авторе:
Facta loquuntur.
Форма ответа