Здравствуйте, STamara!
3. Если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень x=p/q, являющийся несократимой дробью, то p должен быть делителем свободного члена, а q - делителем старшего коэффициента. У нашего многочлена старший коэффициент равен 1, поэтому все его рациональные корни являются целыми числами, представляющими делители свободного коэффициента равного -3. Это могут быть только [$177$]1 и [$177$]3.

Проверкой убеждаемся, что x=1, x=-3 корнями не являются, а x=-1, x=3 - являются.

Ответ: x=-1, x=3.

Здравствуйте, STamara!

4.
.

То, что многочлен симметрический -- очевидно. Симметрическая группа порождается парными перестановками, их всего C₃²=3 -- проверяется легко.

Всякий симметрический многочлен представим в виде многочлена от основных. Т.е., в данном случае, от
,
,
,
.

Видно, что если первый(e₁) помножить на второй, получится что-то похожее на f. Хотя бы по числу мономов. Вот перемножив, увидим, что получится ровно f, только добавятся члены с e₃. Итак, окончательно:
.

Здравствуйте, STamara!

Предлагаю Вам следующее решение первого задания.



Не мешает проверить.

С уважением.

Здравствуйте, STamara!
Найдем НОД многочленов f(x)=х⁴+3х³-х²-4х-3 и g(x)=3х³+10х²+2х-3 с помощью алгоритма Евклида.

Производя деление многочленов "уголком", получим следующее:
х⁴+3х³-х²-4х-3=(3х³+10х²+2х-3)((1/3)x-1/9)+(-(5/9)x²-(25/9)x-10/3), (1)
3х³+10х²+2х-3=(-(5/9)x²-(25/9)x-10/3)(-(27/5)x+9)+(9x+27), (2)
-(5/9)x²-(25/9)x-10/3=(9x+27)(-(5/81)x-10/81)+0. (3)
Сокращая второй остаток 9х + 27 на 9, получаем искомый НОД (f(x), g(x))=х+3.

Найдем многочлены φ(x) и ψ(x) такие, что (f(x),g(x))=f(x)φ(x)+g(x)ψ(x).
Из (2) [$8658$] 9x+27=g(x)-(-(5/9)x²-(25/9)x-10/3)(-(27/5)x+9).
Тогда (f(x), g(x))=(1/9)g(x)-(1/9)(-(5/9)x²-(25/9)x-10/3)(-(27/5)x+9). (4)
Из (1) [$8658$] -(5/9)x²-(25/9)x-10/3=f(x)-g(x)((1/3)x-1/9)
Подставив последнее выражение в (4), находим:
(f(x), g(x))=(1/9)g(x)-(1/9)(f(x)-g(x)((1/3)x-1/9)))(-(27/5)x+9)=
=f(x)(-(1/9))(-(27/5)x+9)+g(x)(1/9)(1+((1/3)x-1/9)(-(27/5)x+9))=
=f(x)((3/5)x-1)+g(x)(-(1/5)x²+(2/5)x).
Следовательно, φ(x)=(3/5)x-1,ψ(x)=-(1/5)x²+(2/5)x.