Здравствуйте, Илья!
8.4
кривая y=ln x пересекает y=0 в точке x=1
кривая x+2y-2=e (y=1+e/2-x/2) пересекает y=0 в точке x=e+2
точку пересечения кривых y=ln x и x+2y-2=e можно подобрать: x=e,y=1
Таким образом, искомая площадь
S=[$8747$]₁^eln xdx+[$8747$]_e^2+e(1+e/2-x/2)dx=
=(xln x-x)|₁^e+(x+ex/2-x²/4)|_e^2+e=1+1=2

Ответ: S=2

Здравствуйте, Илья!

8.6. После выделения полного квадрата из уравнения получим


или уравнение кругового цилиндра. Радиус цилиндра а ось параллельна оси абсцисс и проходит через точку

Решая совместно уравнения и (уравнение конуса второго порядка с осью, параллельной оси абсцисс; сечениями конуса плоскостями, перпендикулярными оси абсцисс, являются окружности, радиус которых увеличивается по мере удаления от начала координат), найдём уравнение одной границы области а именно Второй границей является прямая Эти границы пересекаются в точках и

Рисунок сделайте сами.

Поверхность, площадь части которой нужно вычислить, определяется уравнением При этом

Значит, для вычисления искомой площади имеем



Найдём теперь неопределённый интеграл


Тогда



Но





поэтому окончательно получим


Решение, конечно, выглядит громоздким и неизвестно, насколько оно правильное. Но заниматься переходом к другой системе координат тоже не хотелось. Поэтому пришлось поупражняться в интегрировании. Может быть, кто-нибудь предложит Вам лучшее решение.

С уважением.