Здравствуйте, Посетитель - 397065!
1.
(1+x²)y''+(y')²+1=0.
Сделаем замену: y'=z(x).
(1+x²)z'+z²+1=0,
(1+x²)z'=-(1+z²),
dz/(1+z²)=-dx/(1+x²),
[$8747$]dz/(1+z²)=-[$8747$]dx/(1+x²),
arctg z =-arctg x + arctg C₁,
arctg z = arctg((C₁-x)/(1+C₁x)),
z=(C₁-x)/(1+C₁x),
y'=(C₁-x)/(1+C₁x),
y=[$8747$](C₁-x)/(1+C₁x)dx,
y=C₁[$8747$]dx/(1+C₁x)-(1/C₁)[$8747$](1+C₁x-1)/(1+C₁x)dx,
y=ln|1+C₁x|-(1/C₁)(x-(1/C₁)ln|1+C₁x|)+C₂,
y=(1+1/C₁²)ln|1+C₁x|-x/C₁+C₂.

Здравствуйте, Посетитель - 397065!

2. Пусть дано уравнение Решим сначала уравнение







Положим - дифференцируемая функция. Тогда

что после подстановки в исходное уравнение даёт








С уважением.

Здравствуйте, Посетитель - 397065!
9. Общее решение уравнения Лапласа в круге
u(r,[$966$])=[$8721$]_n=0^[$8734$]rⁿ(a_ncos n[$966$]+b_nsin n[$966$])
Полагая r=1, получаем
4sin6[$966$]=[$8721$]_n=0^[$8734$](a_ncos n[$966$]+b_nsin n[$966$])
Сравнивая коэффициенты справа и слева, находим, что b₆=4, а все остальные коэффициенты равны нулю, поэтому u=4r⁶sin6[$966$]
Ответ: u=4r⁶sin6[$966$]

Здравствуйте, Посетитель - 397065!
3a
Cоставляем и решаем характеристическое уравнение:

Корни действительные разные , поэтому решение будет иметь вид: