Здравствуйте, Тимофеев Алексей Валентинович!

Воспользуемся оптическими свойствами эллипса: если выпустить луч из фокуса, то он, после отражения, придёт в другой фокус; и гиперболы: продолжение отражения луча, выпущённого из одного фокуса, проходит через другой фокус. Первый луч нарисован карандашом, второй -- красной ручкой. При отражении, угол падения(угол между падающим лучём и касательной) равен углу отражения(угол между отражённым лучём и касательной). Касательные нарисованы пунктиром. Как легко видеть, в результате построений,
,
.
А и есть угол между касательными.

Здравствуйте, Тимофеев Алексей Валентинович!
Пусть фокусы имеют координаты F₁(x₀, 0) и F₂(-x₀, 0).
Эллипс можно определить как совокупность точек, сумма расстояний которых до фокусов постоянна. то есть для всех точек A(x,y) принадлежащих эллипсу выполняется
F₁A+F₂A=a
или через координаты
[$8730$]((x-x₀)²+y²)+[$8730$]((x+x₀)²+y²)=a=f_a(x,y)

Гиперболу можно определить как совокупность точек, разность расстояний которых до фокусов постоянна. то есть для всех точек B(x,y) принадлежащих гиперболе выполняется
F₁B-F₂B=[$177$]b

или через координаты
[$8730$]((x-x₀)²+y²)-[$8730$]((x+x₀)²+y²)=[$177$]b=f_b(x,y)

в такой системе координат ситуация симметрична относительно обеих осей. Рассмотрим точку пересечения в первом квадранте.
Тогда для проходящего через точку (x,y) эллипса коэффициент наклона касательной равен


для гиперболы же имеем



условие перпендикулярности k_a=-1/k_b

перемножаем по-диагонали


получаем ситуацию вида (a+b)(a-b). Упрощаем её

переносим всё влево

-1+1=0
0=0
что и требовалось доказать.