Здравствуйте, Тимофеев Алексей Валентинович!
После раскрытия скобок получим:

Один из корней ищем среди делителей свободного члена - 36. Например, х=1. Вынеся (х-1) за скобки, имеем:

Опять х=1 является корнем уравнения во вторых скобках:

Опять х=1 является корнем уравнения во вторых скобках:

x=-4 является корнем уравнения во вторых скобках:

Корнями квадратного уравнения в скобках есть числа -1/3 и 3/2.
Ответ: x1=1, x2=-4, x3=-1/3, x4 = 3/2

Здравствуйте, Тимофеев Алексей Валентинович!
Положим u=x²+3x-4, v=2x²-5x+3.
Тогда уравнение примет вид
u³+v³=(u+v)³,
u³+v³=u³+3u²v+3uv²+v³,
u²v+uv²=0,
uv(u+v)=0.
Каждый из сомножителей в левой части приравняем к нулю.
1) u=0: x²+3x-4=0.
По теореме Виета определяем корни х=-4 и х=1.
2) v=0: 2x²-5x+3=0.
D=(-5)²-4[$183$]2[$183$]3=1; x=(5[$177$]1)/(2[$183$]2) [$8658$] корни х=3/2 и х=1.
3) u+v=0: 3x²-2x-1=0
D=(-2)²-4[$183$]3[$183$](-1)=16; x=(2[$177$]4)/(2[$183$]3) [$8658$] корни х=-1/3 и х=1.
Таким образом, корнями исходного уравнения являются х₁=-4, х₂=-1/3, х₄=1, х₄=3/2.

Здравствуйте, Тимофеев Алексей Валентинович!

Ещё один вариант решения. Заметим, что (x[sup]2[/sup]+3x-4) + (2x[sup]2[/sup]-5x+3) = 3x[sup]2[/sup]-2x-1. Тогда можно записать исходное уравнение в виде

откуда, раскрывая правую часть по формуле для куба суммы, получаем


или, после сокращения одинаковых слагаемых в левой и правой части:

Вынося общие множители, окончательно имеем

что эквивалентно трём квадратным уравнениям:



Первое уравнение имеет корни x[sub]1[/sub] = 1, x[sub]2[/sub] = -4, второе - x[sub]1[/sub] = 1, x[sub]2[/sub] = 3/2, третье - x[sub]1[/sub] = 1, x[sub]2[/sub] = -1/3. Таким образом, решение исходного уравнения будет x[sub]1,2,3[/sub] = 1, x[sub]4[/sub] = -4, x[sub]5[/sub] = 3/2, x[sub]6[/sub] = -1/3 (то есть четыре корня, из которых один - кратности 3).

Здравствуйте, Тимофеев Алексей Валентинович!
Для уравнения шестой степени мы должны получить шесть корней.
Для начала решим уравнения в скобках: (x²+3x-4)³+(2x²-5x+3)³-(3x²-2x-1)³=0
Получим ((x-1)(x+4))³+(2(x-1)(x-1.5))³-(3(x-1)(x+1/3))³=0
Можем вынести за скобки общие члены. Первые три корня равны друг другу и равны единице.
(x-1)³((x+4)³+(2x-3)³-(3x+1)³)=0
Раскроем скобки, получим:
(x-1)³((x³+12x²+48x+64)+(8x³-36x²+54x-27)-(27x³+27x²+9x=1))=0
Приводим подобные:
(x-1)³(-18x³-51x²+93x+36)=0
Получившееся кубическое уравнение решается любым методом, при этом получаем три действительных корня: -4, -1/3 и 1,5
(x²+3x-4)³+(2x²-5x+3)³-(3x²-2x-1)³=(x-1)³(x+4)(x+1/3)(x-1.5)

x₁=x₂=x₃=1
x₄=1.5
x₅=-1/3
x₆=-4

Для решения кубических уравнений можно порекомендовать сервис, который не только выдает ответ, но и приводит подробное решение: Решение кубических уравнений онлайнhttp://integraloff.net/kub_urav/index.php
Подобные сервисы есть и для решения квадратных уравнений, но рекомендовать не буду, ввиду элементарности.
PS. Обратите внимание, исправлено. Первоначально в ответе допустил опечатку. Первые три корня равны единице.
x₁=x₂=x₃=1