Здравствуйте, Artek9300!

5. Находим


Если функция f(x+iy) = u(x,y) + i v(x,y) регулярная, то выполняются условия Коши-Римана и

откуда

Дифференцируя по x, получаем

и по условию Коши-Римана

Приравнивая, получаем

откуда

что невозможно, так как [$966$] не зависит от y. Следовательно, u(x,y) = e[sup]y[/sup] sh x не является вещественной частью регулярной функции.

Здравствуйте, Artek9300!
6.


Применим признак Даламбера:


(для вычисления пределов было использовано правило Лопиталя ).
Отсюда следует, что ряд будет сходиться, причем абсолютно, если

То есть круг сходимости ряда запишется в виде

Радиус сходимости .

1) Точка лежит вне круга сходимости, ибо . Поэтому в точке данный ряд расходится.

2) Точка лежит на границе круга сходимости, ибо .
Это означает, что в точке данный ряд может либо сходиться, либо расходиться.
Подстановка значения в общий член степенного ряда приводит к знакоположительному числовому ряду с общим членом
Последний ряд расходится в силу признака сравнения, так как
и гармонический ряд расходится.
Следовательно, степенной ряд расходится в точке .

3) Точка лежит на границе круга сходимости, ибо .
Подстановка значения в общий член степенного ряда приводит к знакочередующемуся числовому ряду с общим членом
Полученный ряд сходится по признаку Лейбница, так как абсолютная величина общего члена этого ряда стремится к нулю монотонно.
Причем сходимость условная, поскольку ряд из модулей членов знакочередующегося ряда, рассмотренный выше, расходится.
Таким образом, в точке степенной ряд сходится условно.