Здравствуйте, Посетитель - 369100!

2а) Для нахождения значения e^-2 воспользуемся разложением
e^x = 1 + x/1! + x²/2! + ... + xⁿ/n! + ... (-[$8734$] < x < +[$8734$]).

Получим
e^-2 = 1 + (-2) + 4/2 - 8/6 + 16/24 - 32/120 + 64/720 - 128/5040 + 256/40320 - 512/362880 + 1024/3628800 - ... [$8776$]
[$8776$] 1 - 2 + 2 - 1,3333 + 0,6667 - 0,2667 + 0,0889 - 0,0254 + 0,0063 - 0,0014 + 0,0003 [$8776$] 0,1354 [$8776$] 0,135.

В использованном разложении нами было взято 11 слагаемых во избежание накопленной погрешности вычислений. Брать большее количество слагаемых не имеет смысла, потому что вносимая этим поправка по абсолютной величине не превосходит последнего слагаемого, приблизительно равного 0,0003.

2б) Для нахождения значения ₀[$8747$]^1/2(sin x²)dx/x воспользуемся разложением
sin u = u - u³/3! + u⁵/5! - ... (-[$8734$] < u < +[$8734$]),
которое при u = x² даёт
sin x² = x² - x⁶/6 + x¹⁰/120 - ...,
(sin x²)/x = x - x⁵/6 + x⁹/120 - ...,
₀[$8747$]^1/2(sin x²)dx/x [$8776$] ₀[$8747$]^1/2(x - x⁵/6 + x⁹/120 - ...)dx = (x²/2 - x⁶/36 + x¹⁰/1200 - ...)|₀^1/2 =
[$8776$] 1/8 - 1/2304 [$8776$] 0,125.

Здесь достаточным оказалось взять два слагаемых, поскольку поправка, получаемая от увеличения количества слагаемых, не превосходит по абсолютной величине числа 1/2304 [$8776$] 0,0004.

С уважением.

Здравствуйте, Посетитель - 369100!


Найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала.


Найдём радиус сходимости с помощью признака Даламбера:




Ряд сходится при .

Исследуем сходимость на концах интервала.

При получаем знакочередующийся ряд

Он сходится по признаку Лейбница:


При имеем знакоположительный ряд

Этот ряд расходится, т.к.

Ответ: ряд сходится при .