Здравствуйте, lamed!

Известно, что для уравнения третьей степени, имеющего вид
ax³ + bx² + cx + d = 0,
состав его корней определяется при помощи дискриминанта
[$916$] = − 4b³d + b²c² − 4ac³ + 18abcd − 27a²d².

В нашем случае a = 1, b = 0, c = 4, d = 8,
[$916$] = -4 [$183$] 1 [$183$] 4³ - 27 [$183$] 1² [$183$] 8² = -1984 < 0,
следовательно, заданное уравнение имеет один действительный и пару комплексно сопряжённых корней.

Учитывая, что функция y(x) = x³ + 4x + 8 при x = -2 принимает значение y(-2) = -8, а при x = -1 - значение y(-1) = 3, приходим к выводу, что корень заданного уравнения находится в промежутке ]-2; -1[.

Находим производную функции y(x): y'(x) = 3x² + 4. В промежутке ]-2; -1[ f'(x) > 0, поэтому за первое приближение в способе касательных берём x₀ = -1, т. к. y(-1) = 3 > 0:
x₁₁ = x₀ - f(x₀)/f'(x₀) = -1 - 3/7 = -10/7 [$8776$] -1,362;
x₁₂ = a - (b - a)f(a)/(f(b) - f(a)) = -2 - (-8)(-1 - (-2))/(3 - (-8)) = -2 + 8/11 = -14/11 [$8776$] -1,27.

Искомый корень находится в промежутке ]-1,43; -1,27[. Имеем
f(-1,43) = (-1,43)³ + 4 [$183$] (-1,43) + 8 [$8776$] -0,644,
f(-1,27) = (-1,27)³ + 4 [$183$] (-1,27) + 8 [$8776$] 0,872,
f'(-1,27) = 3 [$183$] (-1,27)² + 4 [$8776$] 8,839,
x₂₁ = (-1,27) - 0,872/8,839 [$8776$] -1,369,
x₂₂ = (-1,43) - (-0,644)(-1,27 - (-1,43))/(0,872 - (-0,644)) [$8776$] -1,362.

Искомый корень находится в промежутке ]-1,369; -1,362[. Имеем
f(-1,369) = (-1,369)³ + 4 [$183$] (-1,369) + 8 [$8776$] -0,0417,
f(-1,362) = (-1,362)³ + 4 [$183$] (-1,362) + 8 [$8776$] 0,0254,
f'(-1,362) = 3 [$183$] (-1,362)² + 4 [$8776$] 9,565,
x₂₁ = (-1,362) - 0,00254/9,565 [$8776$] -1,362,
x₂₂ = (-1,369) - (-0,0417)(-1,362 - (-1,369))/(0,0254 - (-0,0417)) > -1,365.

Следовательно, x [$8776$] -1,36.

С уважением.