Здравствуйте, Mechenaya!
1


Согласно с таблицей изображений изображением для функции

является функция

В итоге получим:

2
Изображение функции f(t):

Изображением производной f'(x) является функция

3
Изображением интеграла является изображение подинтегральной функции, разделенное, на р, поэтому искомым изображением будет:

Здравствуйте, Mechenaya!
Решение 7 в прикрепленном файле.

Здравствуйте, Mechenaya!
4. Найти свертку функций f1(t)=sin(t) и f2(t)=cos(t)

Здравствуйте, Mechenaya!

5. Согласно теореме о дифференцировании изображений, если f(t) [$8658$] F(p), то (-t)[sup]n[/sup]f(t) [$8658$] F[sup](n)[/sup](p). В данном случае



следовательно,



6. Согласно теореме об интегрировании изображений, если f(t) [$8658$] F(p), то



В данном случае



следовательно,




9. Для дифференциального уравнения второго порядка



где x(t) [$8658$] X(p) и f(t) [$8658$] F(p). В данном случае f(t) = e[sup]-t[/sup] [$8658$] 1/(p+1), b = 2, c = -3, x(+0) = 0, x'(+0) = 1 и



откуда



и




Приравнивая числители, получаем:



откуда A = 3/8, B = -1/4, C = -1/8, то есть



Учитывая, что 1/(p-a) [$8658$] e[sup]at[/sup], получаем оригинал изображения:



10. Аналогично заданию 9, имеем x(t) [$8658$] X(p), x'(t) [$8658$] pX(p)-x(+0) = pX(p)-1, y(t) [$8658$] Y(p), y'(t) [$8658$] pY(p)-y(+0) = pY(p)+1, e[sup]t[/sup] [$8658$] 1/(p-1), e[sup]2t[/sup] [$8658$] 1/(p-2), откуда




или в матричной форме

Обратная матрица будет

откуда

то есть для изображений имеем




Оба выражения можно представить в виде суммы простейших дробей:





Приравнивая числители, для X(p) получаем:



откуда A = 1/27, B = 7/40, C = -11/45, D = 223/216. Аналогично, для Y(p) получаем:



откуда A = 7/54, B = 1/40, C = -11/90, D = -223/216. Итак,




Учитывая, что 1/(p-a) [$8658$] e[sup]at[/sup], получаем оригиналы:

Здравствуйте, Mechenaya!

Рассмотрим задание 11.

1. Находим решение x₁(0) уравнения x" - x' = 1. Это уравнение имеет ту же левую часть, что и заданное уравнение, а также начальные условия: x₁(0) = x₁'(0) = 0. Для решения перейдём к операторному уравнению, пользуясь тем, что x₁ [$8801$] X₁, x₁' [$8801$] pX₁(p), x₁" [$8801$] p²X₁(p), 1 [$8801$] 1/p (X₁(p) - изображение функции x₁(t)):
p²X₁ - pX₁ = 1/p,
(p² - p)X₁ = 1/p,
X₁ = 1/(p(p² - p)),
X₁ = 1/(p²(p - 1)).

Представим полученную дробь в виде суммы простейших:
1/(p²(p - 1)) = A/(p - 1) + B/p + C/p² = (Ap² + Bp(p - 1) + C(p - 1))/(p²(p - 1)).
Следовательно,
1 = Ap² + Bp(p - 1) + C(p - 1).

При p = 0 имеем 1 = -С, откуда C = -1;
при p = 1 имеем 1 = A, или A = 1;
при p = 2 имеем 1 = 4A + 2B + C = 4 + 2B - 1 = 3 + 2B, 2B = -2, откуда B = -1.

Получается, что
X₁ = 1/(p²(p - 1)) = 1/(p - 1) - 1/p - 1/p².

Воспользовавшись таблицей изображений, получим
x₁(t) = e^t - 1 - t.

2. Найдём решение заданного уравнения по формуле
x(t) = ₀[$8747$]^tf(т)x₁'(t - т)dт,
где f(т) - правая часть заданного уравнения.

Имеем
x₁'(t) = e^t - 1;
x₁(t - т) = e^{t - т} - 1;
x(t) = ₀[$8747$]^t(1/(1 + e^т))(e^{t - т} - 1)dт = e^t₀[$8747$]^tdт/(e^т(1 + e^т)) - ₀[$8747$]^tdт/(1 + е^т) = е^t₀[$8747$]^tdт/e^т - (е^t + 1)₀[$8747$]^tdт/(1 + е^т) =
= e^t [$183$] e^т|₀^t - (e^t + 1) [$183$] ln (e^т/(1 + e^т))|₀^t = e^t(e^t - 1) - (e^t + 1) [$183$] (ln (e^t/(1 + e^t) - ln (1/2)) =
= e^2t - e^t - (e^t + 1) [$183$] (t - ln (1 + e^t) + ln 2).

Ответ: x(t) = e^2t - e^t - (e^t + 1) [$183$] (t - ln (1 + e^t) + ln 2).

Вроде бы так. Не исключены ошибки, поэтому проверьте, пожалуйста, выкладки. Всё-таки утомительная задача.

С уважением.