Здравствуйте, Олег!
1) базис e₁=1, e₂=t, e₃=t²,...,e_n+1=tⁿ
Ae₁=(t+1)'=1=e₁
Ae₂=[(t+1)t]'=[t²+t]'=2t+1=e₁+2e₂
Ae₃=[(t+1)t²]'=[t³+t²]'=3t²+2t=2e₂+3e₃
........................................
Ae_n+1=[(t+1)tⁿ]'=[tⁿ⁺¹+tⁿ]'=(n+1)tⁿ+nt^n-1=ne_n+(n+1)e_n+1
Записывая координаты векторов в столбцы, получаем матрицу оператора:
1 1 0 ... 0
0 2 2 ... 0
0 0 3 ... 0
................
0 0 0 ... 0
0 0 0 ... n
0 0 0 ... n+1

Ядро оператора - это многочлены, для которых [(t+1)p(t)]'=0, т.е. (t+1)p(t)=C или
p(t)=C/(t+1). Эта функция являетс многочленом только при C=0. Следовательно, оператор
имеет нулевое ядро.

Из того, что ядро оператора равно нулю следует, что оператор обратим. У такого оператора образ совпадает со всем пространством.

2) базис e₁=1, e₂=t, e₃=t²,...,e_n+1=tⁿ
Ae₁=t'=1=e₁
Ae₂=[t(t+1)]'=[t²+t]'=2t+1=e₁+2e₂
Ae₃=[t(t+1)²]'=[t³+2t²+t]'=3t²+4t+1=e₁+4e₂+3e₃
........................................
Ae_k=[t(t+1)^k-1]'=[t(C_k-1⁰+C_k-1¹t+C_k-1²t²+...+C_k-1^k-1t^k)]'=
=C_k-1⁰+2C_k-1¹t+3C_k-1²t²+...+kC_k-1^k-1t^k)=C_k-1⁰e₁+2C_k-1¹e₂+3C_k-1²e₃+...+kC_k-1^k-1e_k
........................................

Записывая координаты векторов в столбцы, получаем матрицу оператора:
1 1 1 ... C_k-1⁰ ...............C_n⁰
0 2 4 ... 2C_k-1¹.............2C_n¹
0 0 3 ... 3C_k-1²...............3C_n²
.............................................
............. kC_k-1^k-1..........kC_n^k-1
.............................................
0 0 0 ...... 0 ................(n+1)C_nⁿ

Определитель матрицы является верхнетреугольныи и равен произведению диагональных элементов
Det=1*2*3*...*(n+1)
т.е. отличен от нуля. Следовательно, оператор обратим, а поэтому его ядро нулевое и образ совпадает со всем пространством.