Здравствуйте, Кусмарцев Андрей Валерьевич!

Про октаэдр Вы можете прочитать здесь. Про кристаллографические индексы - здесь. Хорошо изложен нужный Вам материал здесь и здесь. О сингониях и осях природных кристаллов хорошо написано здесь.

Ели вписать октаэдр в куб, то вершины октаэдра совпадут с центрами граней куба. Центр симметрии куба совпадёт с центром симметрии октаэдра. Проведя из центра симметрии октаэдра три взаимно перпендикулярные оси, установим, что кристаллографические индексы восьми граней октаэдра будут следующими: (111), (-111), (-1-11), (1-11), (-1-1-1), (1-1-1), (11-1), (-11-1). При описании кристаллов полную совокупность всех граней одной простой формы принято условно характеризовать символом одной грани, обладающей наибольшим количеством положительных индексов; в нашем случае - (111). Напомню, что для определения индекса кристаллографической плоскости необходимо установить координаты точек пересечения плоскости с осями координат; взять обратные значения этих величин; привести их к наименьшему целому, кратному каждому из полученных чисел.

Понятно, что если центр C симметрии октаэдра имеет символ [[000]], то символы его шести узлов (вершин) суть [[100]], [[010]], [-100]], [0-10]], [[001]], [00-1]].

Напомню, что ориентация прямой определяется координатами двух её точек. При определении символов прямых (осей и рёбер) необходимо, чтобы одна точка направления совпадала с началом координат (если прямая не проходит через начало координат, то необходимо путём параллельного переноса совместить её с началом координат или перенести начало координат на прямую); установить координаты любой другой точки, лежащей на данной прямой; привести отношения этих координат к отношению трёх наименьших по модулю целых чисел.

Октаэдр имеет девять осей симметрии (все они проходят через центр симметрии). Три из них соединяют противоположные узлы октаэдра:
1) проходит через центр симметрии октаэдра [[000]] и узел с символом [[100]]; её символ [100], или [-100];
2) проходит через центр симметрии октаэдра и узел [[010]]; её символ [010], или [0-10];
3) проходит через центр симметрии октаэдра и узел [[001]]; её символ [001], или [00-1],
а шесть осей октаэдра проходят через середины рёбер:
4) проходит через центр симметрии октаэдра и точку с координатами ([$8730$]2/2; [$8730$]2/2; 0); её индекс [110], или [-1-10] (ведь для данной оси первые две координаты равны между собой);
5) проходит через центр симметрии октаэдра и точку с координатами (-[$8730$]2/2; [$8730$]2/2; 0); её символ [-110], или [1-10];
6) проходит через центр симметрии октаэдра и точку с координатами (-[$8730$]2/2; -[$8730$]2/2; 0); её символ [-1-10], или [110];
7) проходит через центр симметрии октаэдра и точку с координатами ([$8730$]2/2; -[$8730$]2/2; 0); её символ [1-10], или [-110];
8) проходит через центр симметрии октаэдра и точку с координатами ([$8730$]2/2; 0; [$8730$]2/2); её символ [101], или [-10-1];
9) проходит через центр симметрии октаэдра и точку с координатами (0; [$8730$]2/2; [$8730$]2/2); её символ [011], или [0-1-1].

Рассмотрим теперь рёбра октаэдра (всего 12). Получим
1) для ребра, проходящего через узлы [[100]] и [[010]], символ [-110], или [1-10];
2) для ребра, проходящего через узлы [[010]] и [[-100]], символ [-1-10], или [110];
3) для ребра, проходящего через узлы [[-100]] и [[0-10]], символ [1-10], или [-110];
4) для ребра, проходящего через узлы [[0-10]] и [[100]], символ [110], или [-1-10];
5) для ребра, проходящего через узлы [[001]] и [[100]], символ [10-1], или [-101];
6) для ребра, проходящего через узлы [[001]] и [[010]], символ [01-1], или [0-11];
7) для ребра, проходящего через узлы [[001]] и [[-100]], символ [-10-1], или [101];
8) для ребра, проходящего через узлы [[001]] и [[0-10]], символ [0-1-1], или [011];
9) для ребра, проходящего через узлы [[00-1]] и [[100]], символ [101], или [-10-1];
10) для ребра, проходящего через узлы [[00-1]] и [[010]], символ [011], или [0-1-1];
11) для ребра, проходящего через узлы [[00-1]] и [[-100]], символ [-101], или [10-1];
12) для ребра, проходящего через узлы [[00-1]] и [[0-10]], символ [0-11], или [01-1].

Попытайтесь разобраться. В случае необходимости обращайтесь в мини-форум вопроса.

С уважением.