Здравствуйте, Дмитрий!

Первый вариант

1. Распишем знаменатель по формуле a[sup]4[/sup] - b[sup]4[/sup] = (a - b)(a[sup]3[/sup] + a[sup]2[/sup]b + ab[sup]2[/sup] + b[sup]3[/sup]):



2. Воспользуемся формулой a[sup]3[/sup] - b[sup]3[/sup] = (a - b)(a[sup]2[/sup] + ab + b[sup]2[/sup]):



3. Воспользуемся вторым замечательным пределом:


4. Так как числитель и знаменатель обращаются в ноль при x = -1, то можно сократить их на x+1:


6. Воспользуемся первым замечательным пределом и следствиями из второго (lim ln(1+x)/x = lim ((1+x)[sup]a[/sup]-1)/(ax) = 1 при x[$8594$]0):




7. Воспользуемся первым замечательным пределом и следствиями из него (lim tg x/x = lim arcsin x/x = 1 при x[$8594$]0):



8. Воспользуемся замечательными пределами и следствиями из них:



Второй вариант

1. Распишем числитель по формуле a[sup]4[/sup] - b[sup]4[/sup] = (a - b)(a[sup]3[/sup] + a[sup]2[/sup]b + ab[sup]2[/sup] + b[sup]3[/sup]), а знаменатель - по формуле a[sup]3[/sup] - b[sup]3[/sup] = (a - b)(a[sup]2[/sup] + ab + b[sup]2[/sup]):



2. Так как числитель и знаменатель обращаются в ноль при x = -1, то можно сократить их на x+1:


3. Воспользуемся вторым замечательным пределом:


7. Разложим подкоренное выражение в знаменателе:


9. Воспользуемся первым замечательным пределом:

Здравствуйте, Дмитрий!
Второй вариант.
4) lim(3x²-5x)/sin3x=lim(3x/sin3x)*((3x²-5x)/3x)=lim(3x/sin3x)*lim((3x²-5x)/3x)=1*lim(x-5/3)=-5/3

5) Числитель эквивалентен x^3/2, а знаменатель имеет порядок заведомо меньший, чем x. Поэтому рассматриваемый предел равен [$8734$]

6) Вычитаемое эквивалентно x^5/2, поэтому вся разность эквивалентна -x^5/2, Следовательно, искомый предел равен -[$8734$]

Здравствуйте, Дмитрий!
Первый вариант
5. Воспользуемся первым замечательным пределом, но сначала преобразуем:

Сделаем замену: x - 1 = t, тогда x = t + 1, x [$8594$] 1 [$8660$] t [$8594$] 0. Получим:


Второй вариант
5.

8. Используем первый замечательный предел, чтобы заменить sin(3x) на 3x и второй, при выводе формулы (1)

Покажем, что:

Сделаем замену a^x - 1 = t, прологарифмируем: x ln(a) = ln(t+1) или x = ln(t+1) / ln(a), x [$8594$] 0 [$8660$] t [$8594$] 0

А тогда исходный предел равен:


10. Воспользуемся вторым замечательным пределом и формулой (1) из примера 8

Рассмотрим предел:

А тогда применим

Получим

Рассмотрим предел:

Воспользуемся формулой:


А тогда: