Консультации Портала - Консультация #182667

Задать вопрос Консультации Пользователи Форум

Задать вопрос экспертам

Консультация № 182667

29.03.2011, 22:12

64.11 руб.

30.03.2011, 09:20

0 17 3

Образование

Уважаемые эксперты! Помогите еще, пожалуйста.
Найти интегралы
1) [$8747$]dx/(x[$8730$](x - 3x²))
2) [$8747$](3x+10)dx/(x³ - 6x² + 10x)
3) [$8747$]dx/(sin(x)+4).
4) Сделать чертеж и найти объем тела, ограниченного поверхностями z = 0, у = х и плоскостью, проходящей через точки А (3;9; 0), В (-1; 9 ; 0) и С (0; 0; 4). (двойной интеграл)

Спасибо!

Обсуждение

давно

Роман Селиверстов

Советник
341206
1201

29.03.2011, 22:31

общий

это ответ

Здравствуйте, alya_koshka!
2) Использована замена х-3=t, x=t+3, dx=dt

3) решаем с помощью подстановки:

давно

Роман Селиверстов

Советник
341206
1201

29.03.2011, 22:35

общий

В первом интеграле (3x)^2 или 3x^2?
Во втором интеграле (6x)^2 или 6x^2?

Неизвестный

30.03.2011, 08:49

общий

Адресаты:

3x^2 и 6x^2
Извините не заметила.

давно

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт
17387
18345

30.03.2011, 11:12

общий

это ответ

Здравствуйте, alya_koshka!

Рассмотрим второй интеграл.

Пусть I = ∫(3x+10)dx/(x³ - 6x² + 10x) = ∫(3x+10)dx/(x(x² - 6x + 10)).

Поскольку квадратный трёхчлен x² - 6x + 10 не имеет вещественных корней, то подынтегральное выражение можно предстваить так:
(3x+10)/(x(x² - 6x + 10)) = A/x + (Bx + C)/(x² - 6x + 10) = (A(x² - 6x + 10) + (Bx + C)x)/(x(x² - 6x + 10) =
= ((A + B)x² + (-6A + C)x + 10A)/(x(x² - 6x + 10)).
Тогда, приравнивая числители в левой и правой частях последнего выражения, получим
10A = 10, A = 1,
A + B = 0, B = -A = -1,
-6A + C = 3, C = 3 + 6A = 3 + 6 = 9.
Следовательно,
I = ∫dx/x + ∫(9 - x)dx/(x² - 6x + 10).

Имеем
∫dx/x = ln |x| + const,
∫(9 - x)dx/(x² - 6x + 10) = -∫(x - 9)/(x² - 6x + 10) = -∫(1/2 • (2x - 6) - 6)dx/(x² - 6x + 10) =
= -1/2 • ∫d(x² - 6x + 10)/(x² - 6x + 10) + 6∫dx/(x² - 6x + 10) =
= -1/2 • ∫d(x² - 6x + 10)/(x² - 6x + 10) + 6∫d(x - 3)/((x - 3)² + 1²) =
= -1/2 • ln (x² - 6x + 10) + 6 • arctg (x - 3) + const.

Тогда окончательно получаем
I = ln |x| - 1/2 • ln (x[sup]2[/sup] - 6x + 10) + 6 • arctg (x - 3) + const.

С уважением.

Об авторе:
Facta loquuntur.

давно

Лысков Игорь Витальевич

Посетитель
7438
7205

30.03.2011, 12:08

общий

Проверьте, пожалуйста, условие четвертого задания: не получается замкнутого пространства...
Задачу выполнить невозможно.
Получается примерно така картина:

Об авторе:
"Если вы заметили, что вы на стороне большинства, —
это верный признак того, что пора меняться." Марк Твен

Неизвестный

30.03.2011, 12:16

общий

Адресаты:

Сделать чертеж и найти объем тела, ограниченного поверхностями z = 0, у = х и плоскостью, проходящей через точки А (n;n^2; 0), В (-m; n^2 ; 0) и С (0; 0; m + n).
по условию m=1 n=3
Получается А (3;9; 0), В (-1; 9 ; 0) и С (0; 0; 4)

Вроде я все правильно посчитала.

Неизвестный

30.03.2011, 12:17

общий

Первый интеграл я уже взяла.. Решать не нужно. Большое спасибо за второй и третий!

давно

Лысков Игорь Витальевич

Посетитель
7438
7205

30.03.2011, 12:21

общий

Посмотрите на рисунок. Ну и где найти там "тело"?

давно

Орловский Дмитрий

Мастер-Эксперт
319965
1463

30.03.2011, 12:27

общий

это ответ

Здравствуйте, alya_koshka!
1)
[$8747$]dx/(x[$8730$](x-3x²))=[$177$][$8747$]dx/(x²[$8730$]((1/x)-3))
(+ для x>0 и - для x<0)
После замены u=1/x, имеем
[$8747$]dx/(x²[$8730$]((1/x)-3))=-[$8747$]du/[$8730$](u-3)=-2[$8730$](u-3)+const=-2[$8730$]((1/x)-3)+const=-([$177$])2[$8730$](x-3x²)/x+const
(+ для x>0 и - для x<0)
Поэтому
[$8747$]dx/(x[$8730$](x-3x²))=-2[$8730$](x-3x²)/x+const