Здравствуйте, Тимофеев Алексей Валентинович!
Предлагаю следующее решение.
ОДЗ уравнения получается из решения системы неравенств:
{ctg x>0 и cos x>0}, что эквивалентно (ctg x=cos x/sin x) системе {sin x>0, cos x>0}. Решение этой системы будет x [$8712$](2*pi*n, pi/2+2*pi*n), где n [$8712$]Z. Можно сказать, что угол x должен принадлежать первой четверти (тригонометрического круга).
Очевидно, что ни косинус ни синус в этой области не могут принимать значения 1; а, значит правая часть уравнения [$8800$]0. Учитывая это, перепишем уравнение в виде (log₂ cos x=(log₃ cos x)/(log₃2)=(log₃ cos x)*log₂3, log₃ ctg x=log₃ cos x-log₃ sin x):

Отсюда

Заметим, что

Рассмотрим один из интервалов ОДЗ, а именно (0, pi/2). В этом интервале функция y=sin x (левая часть уравнения (1)) - возрастающая функция, а функция y=(cos x)^(log_2 (2/(sqrt (3)) - убывающая функция. Значит на этом интервале уравнение (1) если и имеет корень, то только один. Такой корень легко угадывается: x=pi/3. На других интервалах функции будут периодически повторять рассмотренные на (0, pi/2), а корень уравнения для интервала (2*pi*k, pi/2+2*pi*k) с номером k - записывается в виде x=pi/3+2*pi*k.
Ответ: x=pi/3+2*pi*n, n - целое число.