Здравствуйте, Козловский Константин Викторович!

Имеем функцию y = 4x² / ( 3 + x² )
Нули функции: х = 0;

1) Область определения:
3 + x² ≠ 0. Это выполняется при всех действительных значениях x, а следовательно D(y) = R
2) Область значений:
Как видно из уравнения, х принимает только положительные значения, а значит E(y) = [0 ; +∞)
3) Четность / нечетность:
Проверяем четность
4x² / ( 3+x² ) = 4(-x)² / ( 3+(-x)² ) ⇒ 4x² / ( 3+x²) = 4x² / ( 3+x²) ⇒ f(x) = f(-x), т.е. функция четная.

4) Экстремумы ( минимум / максимум ):
Для этого нужно найти производную функции. Но для начала упростим ее
4x² / ( 3+x² ) = ( 4x²+12-12 ) / ( 3+x² ) = ( 4 ( x²+3 ) - 12 ) / ( 3+x² ) = 4 - 12/( 3+x² )
[ 4 - 12/( 3+x² ) ]' = 24x / ( 3+x² )²
При х=0 f'(x)=0, Следовательно нужно найти вторую производную
[ 4 - 12/( 3+x² ) ]'' = [ 24x / ( 3+x² )² ]' = ( 24( 3+x² )² - 96x²⋅( 3+x² )² ) / ( 3+x² )⁴ = ( 1-4x² ) / ( 3+x² )²
При х=0 f''(x) > 0, Следовательно x=0 - минимум функции.

5) Монотонность:

Как видно из рисунка, функция убывает на промежутке (-[$8734$]; 0) и возрастает на промежутке (0; +[$8734$])

6) Асимптоты:
y = a являетсия асимптотой, если:


7) График функции: