давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
20.09.2010, 18:07
общий
это ответ
Здравствуйте, Belmondo кулешов.
Рассмотрим второе задание. Пусть дан ряд n = 1Σn = ∞ (2n4 + 1)(x – 5)n/(3n5 + 2). Найдем его область сходимости.
Здесь an = (2n4 + 1)/(3n5 + 2), an + 1 = (2(n + 1)4 + 1)/(3(n + 1)5 + 2), значит, радиус R сходимости ряда определяется выражением
R = limn → ∞ |an/an + 1| = (2n4 + 1)/(3n5 + 2) : (2(n + 1)4 + 1)/(3(n + 1)5 + 2) =
= (2n4 + 1)/(3n5 + 2) • (3(n + 1)5 + 2)/(2(n + 1)4 + 1) = (2n4 + 1)/(2(n + 1)4 + 1) • (3(n + 1)5 + 2)/(3n5 + 2). Но
(2n4 + 1)/(2(n + 1)4 + 1) = (2n4 + 1)/(2(n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1) + 1) = (2n4 + 1)/(2n4 + 8n3 + 12n2 + 8n + 3) =
= (2 + 1/n4)/(2 + 8/n + 12/n2 + 8/n3 + 3/n4), и при n → ∞ последнее выражение стремится к 1. Аналогичным образом стремится к единице при
n → ∞ и выражение (3(n + 1)5 + 2)/(3n5 + 2). Поэтому R = 1, и ряд абсолютно сходится для значений x, удовлетворяющих неравенству |x – 5| < 1, или 4 < x < 6.
Исследуем сходимость ряда в точке x = 6. Получаем числовой ряд n = 1Σn = ∞ (2n4 + 1)/(3n5 + 2). Так как
limn → ∞ un = limn → ∞ (2n4 + 1)/(3n5 + 2) = limn → ∞ (2/n + 1/n5)/(3 + 2/n5) = 0, то необходимый признак сходимости ряда выполняется. Сравним этот ряд с гармоническим рядом, у которого vn = 1/n:
limn → ∞ un/vn = limn → ∞ (2n4 + 1)/(3n5 + 2) : 1/n = limn → ∞ (2n5 + n)/(3n5 + 2) = limn → ∞ (2 + 1/n4)/(3 + 2/n5) = 2/3.
Так как полученный предел конечен, то ряд расходится вместе с гармоническим рядом. Значит, точка x = 6 не принадлежит области сходимости заданного ряда.
Исследуем сходимость ряда в точке x = 4. Получаем знакочередующийся числовой ряд
n = 1Σn = ∞ (2n4 + 1)(-1)n/(3n5 + 2). Абсолютные величины членов этого ряда монотонно убывают, а общий член стремится к нулю. Поэтому ряд сходится, причем условно, потому что ряд составленный из модулей его членов расходится. Значит, точка x = 4 принадлежит области сходимости заданного ряда.
Следовательно, областью сходимости ряда является интервал [4; 6[.
С уважением.
Об авторе:
Facta loquuntur.