Здравствуйте, Кузьмина Ирина Владимировна.

Пусть дано дифференциальное уравнение (y’ – sin² x) ∙ cos x = y ∙ sin x. Найдем его общее решение. Выполним преобразования:
y’ – sin² x = y ∙ tg x, (cos x ≠ 0)
y’ – y ∙ tg x = sin² x. (1)
Получили уравнение вида y’ + p(x)y = g(x), которое является линейным уравнением первого порядка.

Решим уравнение (1) методом Бернулли. Полагаем y = u(x)v(x). Тогда y’ = u’v + uv’. Уравнение (1) принимает вид
u’v + uv’ – uv ∙ tg x = sin² x,
или
u’v + u(v’ – v ∙ tg x) = sin² x. (2)

Подберем функцию v(x) так, чтобы выражение в скобках было равно нулю. Для этого решим дифференциальное уравнение
v’ – v ∙ tg x = 0:
dv/dx – v ∙ tg x = 0,
dv/dx = v ∙ tg x,
dv/v = tg x ∙ dx,
ln |v| = -ln |cos x| + ln |C|.
Поскольку нам достаточно одного ненулевого решения, принимаем C = 1. Тогда v = 1/cos x.

Подставляя v = 1/cos в уравнение (2), получаем
u'/cos x = sin² x,
du/dx = sin² x ∙ cos x,
du = sin² x ∙ cos x ∙ dx,
∫du = ∫sin² x ∙ cos x ∙ dx,
∫du = ∫sin² x ∙ d(sin x),
u = (sin³ x)/3 + C.

Следовательно, y = uv = ((sin³ x)/3 + C)/cos x – искомое общее решение.

Ответ: y = ((sin³ x)/3 + C)/cos x.

С уважением.