давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
03.04.2010, 19:57
общий
это ответ
Здравствуйте, Чаркин Иван Александрович.
Пусть f(x) = c(4 – (x – 5)2), если |x – 5| < 4, f(x) = 0, если |x – 5| > 4.
1. Плотность распределения принимает ненулевые значения при 1 < x < 9. Из условия для плотности случайной величины имеем -∞∫+∞ f(x)dx = 1, то есть
1∫9 c(4 – (x – 5)2)dx = 1, c ∙ 1∫9 (4 – (x – 5)2)dx = 1, c ∙ 1∫9 (4 – x2 + 10x – 25)dx = 1, c ∙ 1∫9 (-x2 + 10x – 21)dx = 1,
с ∙ (-x3/3 + 5x2 – 21x)|19 = 1, с ∙ ((-243 + 405 – 189) – (-1/3 + 5 – 21)) = 1, с ∙ (-27 + 49/3) = 1, -32c/3 = 1, откуда находим с = -3/32.
2. Функция распределения задается следующим образом: F(x) = -3/32 ∙ (-x3/3 + 5x2 – 21x), если |x – 5| < 4, т. е. при 1 < x < 9; F(x) = 0, если если |x – 5| > 4, т. е. при -∞ < x < 1 и при 9 < x < +∞.
3. Вероятность того, что случайная величина принимает значения, меньшие 0,5, равна нулю, потому что
P {ξ < 0,5} = F(0,5) – F(-∞) = 0 – 0 = 0.
4. Находим математическое ожидание случайной величины ξ:
Mξ = -∞∫+∞ x ∙ f(x)dx = -3/32 ∙ 1∫9 x(4 – (x – 5)2)dx = -3/32 ∙ 1∫9 (-x3 + 10x2 – 21x)dx =
= -3/32 ∙ (-x4/4 + 10x3/3 – 21x2/2)|19 = -3/32 ∙ ((-1640,25 + 2430 – 850,5) – (-0,25 + 10/3 – 10,5)) =
= -3/32 ∙ (-160/3) = 160/32 = 5.
Находим дисперсию случайной величины ξ. Имеем
Mξ2 = -∞∫+∞ x2 ∙ f(x)dx = -3/32 ∙ 1∫9 x2(4 – (x – 5)2)dx = -3/32 ∙ 1∫9 (-x4 + 10x3 – 21x2)dx =
= -3/32 ∙ (-0,2x5 + 2,5x4 – 7x3)|19 = -3/32 ∙ ((-11809,8 + 16402,5 – 5103) – (-0,2 + 2,5 – 7)) =
= -3/32 ∙ (-505,6) = 47,4;
Dξ = Mξ2 – (Mξ)2 = 47,4 – 52 = 22,4;
Находим математическое ожидание и дисперсию случайной величины η = 5ξ + 4:
Mη = 5Mξ + 4 = 5 ∙ 5 + 4 = 29;
Dη = 52Dξ = 25 ∙ 22,4 = 560.
С уважением.
Об авторе:
Facta loquuntur.