Здравствуйте, sereggg.

1. Область интегрирования представляет собой круг радиуса R = √4 = 2, центр которого находится в точке C(2; 3). Эту область можно представить двумя способами:
1) как область, ограниченную слева прямой x = 0, справа – прямой x = 4, снизу – полуокружностью
y = 3 – √(4 – (x – 2)²), сверху – полуокружностью y = 3 + √(4 – (x – 2)²);
2) как область, ограниченную снизу прямой y = 1, сверху – прямой y = 5, слева – полуокружностью
x = 2 – √(4 – (y – 3)²), справа – полуокружностью x = 2 + √(4 – (y – 3)²).

Соответственно, для первого случая представления области интегрирования имеем
∫∫f(x, y)dxdy = ₀∫⁴dx _{3 – √(4 – (x – 2)^2)}∫^{3 + √(4 – (x – 2)^2)}f(x, y)dy,
а для второго случая представления области интегрирования имеем
∫∫f(x, y)dxdy = ₁∫⁵dy _{2 – √(4 – (y – 3)^2)}∫^{2 + √(4 – (y – 3)^2)}f(x, y)dx.

2. Область интегрирования определена как область, ограниченная слева прямой x = 0, справа – прямой x = 2, снизу – прямой y = x, сверху – прямой y = b – x. Ее можно определить также как объединение трех областей, ограниченных следующим образом:
1) снизу прямой y = 0, сверху – прямой y = 2, слева – прямой x = 0, справа – прямой x = y;
2) снизу прямой y = 2, сверху – прямой y = b – 2, слева – прямой x = 0, справа – прямой x = 2;
3) снизу прямой y = b – 2, сверху – прямой y = b, слева – прямой x = 0, справа – прямой x = b – y.
Поэтому
₀∫²dx _x∫^{b – x}f(x, y)dy = ₀∫²dy ₀∫^yf(x, y)dx + ₂∫^{b – 2}dy ₀∫²f(x, y)dx + _{b – 2}∫^bdy ₀∫^{b – y}f(x, y)dx.

С уважением.

Здравствуйте, sereggg.

Решение третьего задания в форуме



∫∫(x^2)/(y^2)dxdy=∫dx∫(x^2)/(y^2)dy
∫dx интегрируется по x от 1 до 2
∫(x^2)/(y^2)dy интегрируется по y от 1/x до x
∫(x^2)/(y^2)dy=(-x^2/y)[y=x]-(-x^2/y)[y=1/x]=x^3-x
∫(x^3-x)dx=((x^4)/4-(x^2)/2)[x=2]-((x^4)/4-(x^2)/2)[x=1]=16/4-4/2-1/4+1/2=9/4