Здравствуйте, Schuldig.
Т.к. очевидно, что вопрос предназначен для школьника, решим задачу соответствующими методами (хотя, используя сведения из высшей математики, решение можно было бы значительно алгоритмизировать).

Одно из решений системы найти легко - (0, 0).

Далее рассмотрим функцию
z(x) = √[(x-1)²+y²] + √[(x+1)²+y²]
(заметим, что z от y не зависит - y рассматриваем как параметр).

Исследуем функцию z(x) на экстремум:
dz/dx = (x-1)/√[(x-1)²+y²] + (x+1)/√[(x+1)²+y²].

dz/dx = 0 [$8660$] (1-x)/√[(x-1)²+y²] = (x+1)/√[(x+1)²+y²] = k,
где k=const.

Отсюда получаем систему
(1-x) = k*√[(x-1)²+y²]
(x+1) = k*√[(x+1)²+y²]

(x-1)² = k²*(x-1)² + y²
(x+1)² = k²*(x+1)² + y²

(x-1)² = (x+1)² [$8660$] x=0
(проверка показывает, что x=0 действительно является корнем уравнения dz/dx = 0).

То, что x = 0 является точкой минимума z(x) можно убедиться, вычислив z'(1) и z'(-1) и по знаку полученных чисел определить характер монотонности z(x).

В случае, когда y = 0, для любого x[$8800$]0 √[(x-1)²+y²] + √[(x+1)²+y²] > 2, что заведомо не удовлетворяет условию.

Теперь предположим, что y[$8800$]0. В общем, все аналогично.
Рассмотрев функцию z(y) = √[(x-1)²+y²] + √[(x+1)²+y²], приходим к выводу, что y = 0 - точка минимума этой функции (доказывается, в общем-то, аналогично и даже еще проще).

Итак, при x[$8800$]0 и y[$8800$]0 √[(x-1)²+y²] + √[(x+1)²+y²]>2.

Ответ: x=y=0.

Здравствуйте, Schuldig.

Для оценки наименьшего значения можно воспользоваться "неравенством треугольника" для модулей
|a|+|b|[$8805$]|a-b|
Тогда имеем
√[(x-1)2+y2] + √[(x+1)2+y2][$8805$]√[(x-1)2] + √[(x+1)2]=|x-1|+|x+1|
Рассмотрим далее функцию f(x)=|x-1|+|x+1|. При x[$8804$]-1 f(x)=-2x[$8805$]2, при -1[$8804$]x[$8804$]1 f(x)=2,
при x[$8805$]1 f(x)=2x[$8805$]2. Отсюда следует, что |x-1|+|x+1|=2 <---> -1[$8804$]x[$8804$]1.

Таким образом, первое уравнение системы выполняется <---> -1[$8804$]x[$8804$]1 и y=0.

Далее нам нужно решить второе уравнение в этих условиях, т.е. нужно решить уравнение
1+x³ = 2^-x
при -1[$8804$]x[$8804$]1
Здесь слева стоит строго возрастающая функция, а справа - строго убывающая. Поэтому данное уравнение не может иметь
более одного решения. Легко проверяем, что x=0 решением является и удовлетворяет условию -1[$8804$]x[$8804$]1.

Ответ: x=0, y=0.